高考中探索性問題的題型分析
高考中探索性問題的題型分析四川省樂至縣吳仲良中學(xué) 毛仕理
隨著以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力為重點(diǎn)的素質(zhì)教育的深入發(fā)展，高考命題將更加關(guān)注“探索性問題”．從最近幾年來高考中探索性問題逐年攀升的趨勢(shì)，可預(yù)測(cè)探索性問題仍將是高考命題“孜孜以求的目標(biāo)”．
常規(guī)的解答題或證明題，其條件或結(jié)論都明確給出，解題過程實(shí)際上就是由因?qū)Ч蛴晒饕�，是一個(gè)展開思維走向的過程．
由給定的題設(shè)條件探求相應(yīng)的結(jié)論，或由給定的題斷追溯應(yīng)具備的條件，或變更題設(shè)、題斷的某個(gè)部分使命題也相應(yīng)變化等等，這一類問題稱之為探索性問題．由于這類題型沒有明確的結(jié)論，解題方向不明，自由度大，需要先通過對(duì)問題進(jìn)行觀察、分析、比較、概括后方能得出結(jié)論，再對(duì)所得出的結(jié)論予以證明．其難度大、要求高，是訓(xùn)練和考查學(xué)生的創(chuàng)新精神，數(shù)學(xué)思維能力、分析問題和解決問題能力的好題型．近幾年高考中探索性問題分量加重，在選擇題、填空題、解答題中都已出現(xiàn)．
高考常見的探索性問題，就其命題特點(diǎn)考慮，可分為題設(shè)開放型、結(jié)論開放型、題設(shè)和結(jié)論均開放型以及解題方法的開放型幾類問題．
一、結(jié)論開放型
結(jié)論開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出一定的條件而未給出結(jié)論，要求在給定的前提條件下，探索結(jié)論的多樣性，然后通過推理證明確定結(jié)論．解決這類問題的總體思路是：先假設(shè)結(jié)論存在，并依此進(jìn)行推理，若能推出矛盾。即可否定假設(shè)；若能推出合理結(jié)果，經(jīng)驗(yàn)證成立，即可肯定假設(shè)成立．
例1 有兩個(gè)不是常數(shù)數(shù)列的等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}，且a1=b1=l，那么它們最多有多少個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值相等?你能舉出具體的例子嗎?
解析 根據(jù)題意，要找出有多少個(gè)對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值相等，可以分別設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)
an=1+(n-1)d (公差d≠0)．
bn=qn-1(公比q≠0，1)．
由對(duì)應(yīng)項(xiàng)的值相等an=bn，有1+(n-1)d = qn-1．
于是，問題歸結(jié)為討論這個(gè)關(guān)于n(n∈N*)的方程解的個(gè)數(shù)，這個(gè)結(jié)果不易直接得出．怎么辦呢?如果換位思考，用數(shù)形結(jié)合的思想去探索，則可以轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象自變量取正整數(shù)時(shí)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，這個(gè)問題就變得很具體了．
令y1=1+(n-1)d (d≠O)，
y2= qn-1 (q≠0，1)．
函數(shù)y1的圖象是直線上自變量取正整數(shù)的點(diǎn)；函數(shù)y2的圖象是指數(shù)函數(shù)的圖象右移1個(gè)單位，且白變量取正整數(shù)的點(diǎn)．顯然兩者的圖象均過點(diǎn)(1，1)．
圖l
(1)q>0，且q≠1時(shí)，①若d>0，y1單調(diào)遞增，則僅當(dāng)q>l時(shí)，y1與y2可能再有交點(diǎn)，且最多再有一個(gè)(如圖l)；②若d<0，y1單調(diào)遞減，則僅當(dāng)0<q<1時(shí)，y1、y2才能再有交點(diǎn)，且最多再有1個(gè)(如圖2)．
(2)q<0，y2=qn-1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別在y=|q|n-1和y=-|q|n-1兩個(gè)函數(shù)的圖象上，y1與y2的圖象最多再有2個(gè)交點(diǎn)(如圖3)．
綜上所述，兩數(shù)列中對(duì)應(yīng)項(xiàng)相等的項(xiàng)不超過3個(gè)． 圖2
特別地，選取等差數(shù)列{an}：1, , ,- ,…
等比數(shù)列{bn}：l，- ， ，- ,…
其中，a1=b1=1,a3=b3= ,a4=b4=- ,…
點(diǎn)撥 本題運(yùn)用兩次等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象自變量取正整數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，然后再運(yùn)用數(shù)形結(jié) 圖3
合思想予以探索解答．轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想在解決數(shù)學(xué)問題中經(jīng)常應(yīng)用．
二、題設(shè)開放型
題設(shè)開放型探索性問題的特點(diǎn)是給出結(jié)論，不給出條件或條件殘缺，需在給定結(jié)論的前提下，探索結(jié)論成立的條件，但滿足結(jié)論成立的條件往往不唯一，答案與已知條件對(duì)整個(gè)問題而言只要是充分的、相容的、獨(dú)立的．就視為正確的．解決這類問題的總體思路是：采用分析法，把結(jié)論看作已知進(jìn)行逆推，探索結(jié)論所需的條件．
例2 如圖，在直四棱柱A1B1C1D1—ABCD中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅?nbsp; A
ABCD滿足條件___________ 時(shí)，有A1C⊥B1D1．(注：填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有的情形)．
解析 題目給出了部分條件及確定的結(jié)論，要求深入認(rèn)識(shí)其內(nèi)在聯(lián)系，填寫能得到結(jié)論的一種條件．
∵A1B1C1D1—ABCD是直四棱柱．
∴A1A⊥底面ABCD，B1B與D1D平行且相等．而AC是A1C在底面ABCD上的射影，
B1D1∥BD，
要使A1C⊥B1D1，只要A1C上BD，進(jìn)而只需AC⊥BD．
這就是底面ABCD所需滿足的條件．
點(diǎn)撥 填寫四邊形ABCD是正方形、菱形皆可．因?yàn)檫@些特殊四邊形都包含著本題所需的本質(zhì)：AC⊥BD．AC⊥BD是結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充要條件，而所填的ABCD是正方形或菱形則是使結(jié)論A1C⊥B1D1成立的充分而不必要的條件．
三、全開放型
題設(shè)、結(jié)論都不確定或不太明確的開放型探索性問題，與此同時(shí)解決問題的方法也具有開放型的探索性問題，需要我們進(jìn)行比較全面深入的探索，才能研究出解決問題的辦法來．
例3 某自來水廠要制作容積為500 m3的無蓋長(zhǎng)方體水箱，現(xiàn)有三種不同規(guī)格的長(zhǎng)方形金屬制箱材料：①19×19；②30×10；③25×12．(長(zhǎng)度單位：m)．
請(qǐng)你選擇一種規(guī)格的材料，并設(shè)計(jì)出相應(yīng)的制作方案．(要求：①用料最�。虎诤�(jiǎn)便易行)．
解析 要求設(shè)計(jì)方案滿足“用料最省”，即使無蓋水箱的表面積最�。鐖D1，該水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c.
則其體積V=abc=500(m3)． 圖1
其表面積S=2bc+2ac+ab≥3 =3 =300(m2)，
當(dāng)且僅當(dāng)2bc=2ac=ab，即a=b=10，c=5時(shí)，
S=2bc+2ac+ab=300m2為最�。�
這表明，將無蓋長(zhǎng)方體的尺寸設(shè)計(jì)為：10×10×5(即2：2：1)時(shí)，用料最�。�
為了選擇材料并設(shè)計(jì)制作方案，我們進(jìn)行逆向思維，先將無蓋水箱長(zhǎng)方體展開成如圖2的平面圖，進(jìn)一步剪拼成如圖3的長(zhǎng)30 m、寬10 m(長(zhǎng)：寬=3：1)的長(zhǎng)方形．因此，應(yīng)選擇規(guī)格為30×10的材料制作．制作方案如圖4．可以看出，這種“先割后補(bǔ)”的方案，不但可使用料最省，而且簡(jiǎn)便易行．
圖3
圖2 圖4
點(diǎn)撥 本題既具有開放性又具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值，對(duì)學(xué)生的思維能力和應(yīng)用能力要求比較高，首先要想到“用料最省”等價(jià)于“無蓋長(zhǎng)方體表面積最小”，而設(shè)計(jì)相應(yīng)的制作方案則要求學(xué)生設(shè)計(jì)合理的程序、對(duì)自己的實(shí)驗(yàn)(剪拼)結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)．
在推進(jìn)素質(zhì)教育的過程中，我們認(rèn)為進(jìn)行探索性問題的訓(xùn)練，是數(shù)學(xué)教育走出困境的一個(gè)好辦法．由于數(shù)學(xué)開放探索題有利于學(xué)生創(chuàng)新意識(shí)的培養(yǎng)和良好思維品質(zhì)的形成，它越來越受到教育界人士的關(guān)注和深入研究，在高考中起著愈來愈重要的作用．在今后幾年高考中，有如下的預(yù)測(cè)：
1.從1999年～2004年的高考中，探索性問題逐年攀升的趨勢(shì)，可預(yù)測(cè)今后將會(huì)加大開放探索性考題的力度．
2.在2003年和2004年連續(xù)兩年高考題中，出現(xiàn)以解析幾何為背景的結(jié)論開放型探索性的解答題，說明這類題型仍將是高考解答題的重點(diǎn)．
3.設(shè)計(jì)開放探索題，能考查學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，特別應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生創(chuàng)新性的解答，這就反映學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，應(yīng)該很好鼓勵(lì)．
4.將在方法型開放探索題中有所突破，用非常規(guī)的解題方法，或者指定兩種以上方法解同一個(gè)問題，或者在題設(shè)或結(jié)論開放型的問題中解決方法也具有一定的開放性問題，都可能在高考中出現(xiàn)．