1.4樹與二叉樹
考點7 樹與二叉樹及其基本性質(zhì)
考試鏈接：
考點7在筆試考試中，是一個必考的內(nèi)容，在筆試考試中出現(xiàn)的幾率為100%，主要是以選擇的形式出現(xiàn)，有時也有出現(xiàn)在填空題中，分值為2分，此考點為重點掌握內(nèi)容。重點識記樹及二叉樹的性質(zhì)。
誤區(qū)警示：
滿二叉樹也是完全二叉樹，而完全二叉樹一般不是滿二叉樹。應該注意二者的區(qū)別。
1、樹的基本概念
樹(tree)是一種簡單的非線性結構。在樹結構中，每一個結點只有一個前件，稱為父結點，沒有前件的結點只有一個，稱為樹的根結點。每一個結點可以有多個后件，它們稱為該結點的子結點。沒有后件的結點稱為葉子結點。
在樹結構中，一個結點所擁有的后件個數(shù)稱為該結點的度。葉子結點的度為0。在樹中，所有結點中的最大的度稱為樹的度。
2、二叉樹及其基本性質(zhì)
(1)二叉樹的定義
二叉樹是一種很有用的非線性結構，具有以下兩個特點：
①非空二叉樹只有一個根結點;
�、诿恳粋�結點最多有兩棵子樹，且分別稱為該結點的左子樹和右子樹。
由以上特點可以看出，在二叉樹中，每一個結點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結構中的每一個結點的度可以是任意的。另外，二叉樹中的每個結點的子樹被明顯地分為左子樹和右子樹。在二叉樹中，一個結點可以只有左子樹而沒有右子樹，也可以只有右子樹而沒有左子樹。當一個結點既沒有左子樹也沒有右子樹時，該結點即為葉子結點。
(2)二叉樹的基本性質(zhì)
二叉樹具有以下幾個性質(zhì)：
性質(zhì)1：在二叉樹的第k層上，最多有2k-1(k≥1)個結點;
性質(zhì)2：深度為m的二叉樹最多有2m-1個結點;
性質(zhì)3：在任意一棵二叉樹中，度為0的結點(即葉子結點)總是比度為2的結點多一個。
性質(zhì)4：具有n個結點的二叉樹，其深度至少為[log2n]+1，其中[log2n]表示取log2n的整數(shù)部分。
小技巧：在二叉樹的遍歷中，無論是前序遍歷，中序遍歷還是后序遍歷，二叉樹的葉子結點的先后順序都是不變的。
3、滿二叉樹與完全二叉樹
滿二叉樹是指這樣的一種二叉樹：除最后一層外，每一層上的所有結點都有兩個子結點。在滿二叉樹中，每一層上的結點數(shù)都達到最大值，即在滿二叉樹的第k層上有2k-1個結點，且深度為m的滿二叉樹有2m-1個結點。
完全二叉樹是指這樣的二叉樹：除最后一層外，每一層上的結點數(shù)均達到最大值;在最后一層上只缺少右邊的若干結點。
對于完全二叉樹來說，葉子結點只可能在層次最大的兩層上出現(xiàn)：對于任何一個結點，若其右分支下的子孫結點的最大層次為p，則其左分支下的子孫結點的最大層次或為p，或為p+1。
完全二叉樹具有以下兩個性質(zhì)：
性質(zhì)5:具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log2n]+1。
性質(zhì)6:設完全二叉樹共有n個結點。如果從根結點開始，按層次(每一層從左到右)用自然數(shù)1，2，……，n給結點進行編號，則對于編號為k(k=1，2，……，n)的結點有以下結論：
�、偃鬹=1，則該結點為根結點，它沒有父結點;若k>1，則該結點的父結點編號為INT(k/2)。
②若2k≤n，則編號為k的結點的左子結點編號為2k;否則該結點無左子結點(顯然也沒有右子結點)。
�、廴�2k+1≤n，則編號為k的結點的右子結點編號為2k+1;否則該結點無右子結點。
考點8 二叉樹的遍歷
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考點8在筆試考試中考核幾率為30%，分值為2分，讀者應該熟練掌握各種遍歷的具體算法，能由兩種遍歷的結果推導另一種遍歷的結果。
在遍歷二叉樹的過程中，一般先遍歷左子樹，再遍歷右子樹。在先左后右的原則下，根據(jù)訪問根結點的次序，二叉樹的遍歷分為三類：前序遍歷、中序遍歷和后序遍歷。
(1)前序遍歷：先訪問根結點、然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先訪問根結點，然后遍歷左子樹，最后遍歷右子樹。
(2)中序遍歷：先遍歷左子樹、然后訪問根結點，最后遍歷右子樹;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后訪問根結點，最后遍歷右子樹。
(3)后序遍歷：先遍歷左子樹、然后遍歷右子樹，最后訪問根結點;并且，在遍歷左、右子樹時，仍然先遍歷左子樹，然后遍歷右子樹，最后訪問根結點。
疑難解答：樹與二叉樹的不同之處是什么?
在二叉樹中，每一個結點的度最大為2，即所有子樹(左子樹或右子樹)也均為二叉樹，而樹結構中的每一個結點的度可以是任意的。
1.5查找技術
考點9 順序查找
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考點9在筆試考試中考核幾率在30%，一般出現(xiàn)選擇題中，分值為2分，讀者應該具體掌握順序查找的算法。
查找是指在一個給定的數(shù)據(jù)結構中查找某個指定的元素。從線性表的第一個元素開始，依次將線性表中的元素與被查找的元素相比較，若相等則表示查找成功;若線性表中所有的元素都與被查找元素進行了比較但都不相等，則表示查找失敗。
在下列兩種情況下也只能采用順序查找：
(1)如果線性表為無序表，則不管是順序存儲結構還是鏈式存儲結構，只能用順序查找。
(2)即使是有序線性表，如果采用鏈式存儲結構，也只能用順序查找。
考點10 二分法查找
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考點10在筆試考試中考核幾率為30%，一般出現(xiàn)填空題中，分值為2分，考核比較多查找的比較次數(shù)，讀者應該具體掌握二分查找法的算法。
二分法只適用于順序存儲的，按非遞減排列的有序表，其方法如下：
設有序線性表的長度為n，被查找的元素為i，
(1)將i與線性表的中間項進行比較;
(2)若i與中間項的值相等，則查找成功;
(3)若i小于中間項，則在線性表的前半部分以相同的方法查找;
(4)若i大于中間項，則在線性表的后半部分以相同的方法查找。
疑難解答：二分查找法適用于哪種情況?
二分查找法只適用于順序存儲的有序表。在此所說的有序表是指線性表中的元素按值非遞減排列(即從小到大，但允許相鄰元素值相等)。
這個過程一直進行到查找成功或子表長度為0為止。
對于長度為n的有序線性表，在最壞情況下，二分查找只需要比較log2n次。
1.6排序技術
考點11 交換類排序法
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考點11屬于比較難的內(nèi)容，一般以選擇題的形式考查，考核幾率為30%，分值約為2分，讀者應該熟練掌握幾種排序算法的基本過程。
冒泡排序法和快速排序法都屬于交換類排序法。
(1)冒泡排序法
首先，從表頭開始往后掃描線性表，逐次比較相鄰兩個元素的大小，若前面的元素大于后面的元素，則將它們互換，不斷地將兩個相鄰元素中的大者往后移動，最后最大者到了線性表的最后。
然后，從后到前掃描剩下的線性表，逐次比較相鄰兩個元素的大小，若后面的元素小于前面的元素，則將它們互換，不斷地將兩個相鄰元素中的小者往前移動，最后最小者到了線性表的最前面。
對剩下的線性表重復上述過程，直到剩下的線性表變空為止，此時已經(jīng)排好序。
在最壞的情況下，冒泡排序需要比較次數(shù)為n(n-1)/2。
(2)快速排序法
它的基本思想是：任取待排序序列中的某個元素作為基準(一般取第一個元素)，通過一趟排序，將待排元素分為左右兩個子序列，左子序列元素的排序碼均小于或等于基準元素的排序碼，右子序列的排序碼則大于基準元素的排序碼，然后分別對兩個子序列繼續(xù)進行排序，直至整個序列有序。
疑難解答：冒泡排序和快速排序的平均執(zhí)行時間分別是多少?
冒泡排序法的平均執(zhí)行時間是O(n2)，而快速排序法的平均執(zhí)行時間是O(nlog2n)。
1.7 例題詳解
一、選擇題
【例1】算法的時間復雜度取決于_______。(考點2)
A)問題的規(guī)模 B)待處理的數(shù)據(jù)的初態(tài)
C)問題的難度 D)A)和B)
解析：算法的時間復雜度不僅與問題的規(guī)模有關，在同一個問題規(guī)模下，而且與輸入數(shù)據(jù)有關。即與輸入數(shù)據(jù)所有的可能取值范圍、輸入各種數(shù)據(jù)或數(shù)據(jù)集的概率有關。
答案：D)
【例2】在數(shù)據(jù)結構中，從邏輯上可以把數(shù)據(jù)結構分成_______。(考點3)
A)內(nèi)部結構和外部結構 B)線性結構和非線性結構
C)緊湊結構和非緊湊結構 D)動態(tài)結構和靜態(tài)結構
解析：邏輯結構反映數(shù)據(jù)元素之間的邏輯關系，線性結構表示數(shù)據(jù)元素之間為一對一的關系，非線性結構表示數(shù)據(jù)元素之間為一對多或者多對一的關系，所以答案為B)。
答案：B)
【例3】以下_______不是棧的基本運算。(考點5)
A)判斷棧是否為素空 B)將棧置為空棧
C)刪除棧頂元素 D)刪除棧底元素
解析：棧的基本運算有：入棧，出棧(刪除棧頂元素)，初始化、置空、判斷棧是否為空或滿、提取棧頂元素等，對棧的操作都是在棧頂進行的。
答案：D)
【例4】鏈表不具備的特點是_______。(考點6)
A)可隨機訪問任意一個結點 B)插入和刪除不需要移動任何元素
C)不必事先估計存儲空間 D)所需空間與其長度成正比
解析：順序表可以隨機訪問任意一個結點，而鏈表必須從第一個數(shù)據(jù)結點出發(fā)，逐一查找每個結點。所以答案為A)。
答案：A)
【例5】已知某二叉樹的后序遍歷序列是DACBE，中序遍歷序列是DEBAC，則它的前序遍歷序列是_______。(考點8)
A)ACBED B)DEABC
C)DECAB D)EDBAC
解析：后序遍歷的順序是"左子樹-右子樹-根結點";中序遍歷順序是"左子樹-根結點-右子樹";前序遍歷順序是"根結點-左子樹-右子樹"。根據(jù)各種遍歷算法，不難得出前序遍歷序列是EDBAC。所以答案為D)。
答案：D)
【例6】設有一個已按各元素的值排好序的線性表(長度大于2)，對給定的值k，分別用順序查找法和二分查找法查找一個與k相等的元素，比較的次數(shù)分別是s和b，在查找不成功的情況下，s和b的關系是_______。(考點9)
A)s=b B)s>b C)s
解析：對于順序查找，查找不成功時和給定關鍵字比較的次數(shù)為n+1。二分查找查找不成功的關鍵字比較次數(shù)為[log2n]+1。當n≥2時，顯然n+1>[log2n]+1。
答案：B)
【例7】在快速排序過程中，每次劃分，將被劃分的表(或子表)分成左、右兩個子表，考慮這兩個子表，下列結論一定正確的是_______。(考點11)
A)左、右兩個子表都已各自排好序
B)左邊子表中的元素都不大于右邊子表中的元素
C) 左邊子表的長度小于右邊子表的長度
D)左、右兩個子表中元素的平均值相等
解析：快速排序基本思想是：任取待排序表中的某個元素作為基準(一般取第一個元素)，通過一趟排序，將待排元素分為左右兩個子表，左子表元素的排序碼均小于或等于基準元素的排序碼，右子表的排序碼則大于基準元素的排序碼，然后分別對兩個子表繼續(xù)進行排序，直至整個表有序。
答案：B)
二、填空題
【例1】問題處理方案的正確而完整的描述稱為_______。(考點1)
解析：計算機解題的過程實際上是在實施某種算法，這種算法稱為計算機算法。
答案：算法
【例2】一個空的數(shù)據(jù)結構是按線性結構處理的，則屬于_______。(考點4)
解析：一個空的數(shù)據(jù)結構是線性結構或是非線性結構，要根據(jù)具體情況而定。如果對數(shù)據(jù)結構的運算是按線性結構來處理的，則屬于線性結構，否則屬于非線性結構。
答案：線性結構
【例3】設樹T的度為4，其中度為1、2、3和4的結點的個數(shù)分別為4、2、1、1，則T中葉子結點的個數(shù)為_______。(考點7)
解析：根據(jù)樹的性質(zhì)：樹的結點數(shù)等于所有結點的度與對應的結點個數(shù)乘積之和加1。
因此樹的結點數(shù)為1×4+2×2+3×1+4×1+1=16。葉子結點數(shù)目等于樹結點總數(shù)減去度不為0的結點數(shù)之和，即16-(4+2+1+1)=8。
答案：8
【例4】二分法查找的存儲結構僅限于_______且是有序的。(考點10)
解析：二分查找，也稱折半查找，它是一種高效率的查找方法。但二分查找有條件限制：要求表必須用順序存儲結構，且表中元素必須按關鍵字有序(升序或降序均可)。
答案：順序存儲結構
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