數(shù)學(xué)教案－二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象
教學(xué)目標(biāo) ：
1、使學(xué)生進(jìn)一步理解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
2、滲透解析幾何，數(shù)形結(jié)合，函數(shù)等數(shù)學(xué)思想.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題解決問題，及邏輯思維的能力.
3、使學(xué)生參與教學(xué)過程 ，通過主體的積極思維，體驗感悟數(shù)學(xué).逐步建立數(shù)學(xué)的觀念，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取知識的能力.
教學(xué)重點(diǎn)：初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想
教學(xué)難點(diǎn) ：初步理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想
教學(xué)用具：微機(jī)
教學(xué)方法：探究式、小組合作學(xué)習(xí)
教學(xué)過程 ：
例1、已知：拋物線y=x2－（m2－1）x－2m2－2
⑴求證：無論m取什么實(shí)數(shù)，拋物線與x軸一定有兩個交點(diǎn)
⑵m取什么實(shí)數(shù)時，兩交點(diǎn)間距離最短？是多少？
解：
△ =(m2－1)2＋4(2m2＋2)
=m4－2m2＋1＋8m2＋8
=m4＋6m2＋9
=(m2＋3)2
m2≥0
∴m2＋3＞0
∴△＞0
∴拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)
問題：為什么說當(dāng)△＞0時，拋物線y =ax2+bx+c與x軸有兩個交點(diǎn).（能否從數(shù)和形兩方面說明）
設(shè)計意圖：在課堂上創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生說數(shù)學(xué)的機(jī)會，學(xué)會合作學(xué)習(xí)，以達(dá)到①經(jīng)驗共享，在思維的碰撞中共同提高.②學(xué)會合作，消除個人中心.③發(fā)現(xiàn)自我，提高參與度.④弘揚(yáng)個體的主體性，形成健康，豐富的個性.
數(shù)：點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程.反之，曲線方程的每一個實(shí)數(shù)解對應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上.拋物線與x軸的交點(diǎn)，既在拋物線上，又在x軸上.所以交點(diǎn)的坐標(biāo)既滿足拋物線的解析式，也滿足x軸的解析式.設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y）
∴
這樣交點(diǎn)問題就轉(zhuǎn)化成求這個二元二次方程組的解.代入y =0，消去y，轉(zhuǎn)化成ax2+bx+c=0這個一元二次方程求根問題.根據(jù)以前學(xué)過的知識，當(dāng)△＞0時， ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)根.∴y =ax2+bx+c
y =0
有兩個不等的實(shí)數(shù)解
∴拋物線與ｘ軸交于兩個不同的點(diǎn).
形：頂點(diǎn)在ｘ軸上方，且開口向下.或者頂點(diǎn)在ｘ軸下方，且開口向上.
設(shè)計意圖：滲透解析幾何的基本思想
使學(xué)生掌握轉(zhuǎn)化思想使學(xué)生在解題過程中，感知數(shù)學(xué)的直觀性和形式化這二重性.掌握數(shù)形結(jié)合，分類討論的思想方法.逐步學(xué)會數(shù)學(xué)的思維.
轉(zhuǎn)化成代數(shù)語言為：
小結(jié)：第一種方法，根據(jù)解析幾何的基本思想.將求曲線的交點(diǎn)問題，轉(zhuǎn)化成求方程組的解的問題.
第二種方法，借助于圖象思考問題，比較直觀.發(fā)現(xiàn)規(guī)律后，再用數(shù)學(xué)的符號語言將其形式化.這既體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合的思想方法，也是探索解數(shù)學(xué)問題的一般方法.
思考：試從數(shù)、形兩方面說明拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)與判別 式的符號的關(guān)系.
設(shè)計意圖：數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是一個再創(chuàng)造的過程，不能等同于數(shù)學(xué)知識的匯集，而要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的創(chuàng)造過程.使主體積極地參與到學(xué)習(xí)中去.以數(shù)學(xué)知識為載體，揭示出蘊(yùn)涵于其中的數(shù)學(xué)思想方法，逐步形成數(shù)學(xué)觀念.
⑵m取什么實(shí)數(shù)時,兩交點(diǎn)間距離最短?是多少?
解：設(shè)二次函數(shù)與x軸的兩交點(diǎn)為(x1,0)，(x2,0)
解法㈠ 由⑴可知m為任何實(shí)數(shù)時, 都有△＞0
解①
∴ x1＋x2=m2－1
x1·x2=－2(m2＋1)
∴│x2－x1│=
=
=
=
=m2＋3
∴當(dāng)m =0時,兩交點(diǎn)最小距離為3
這里兩交點(diǎn)間距離是m的函數(shù)
設(shè)計意圖：培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.在解題過程中，發(fā)現(xiàn)問題，并能運(yùn)用已有的數(shù)學(xué)知識，將其一般化，形式化，解決問題，體會數(shù)學(xué)問題解決的一般方法.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立地獲取數(shù)學(xué)知識的能力.滲透函數(shù)思想
問題： 觀察本題兩交點(diǎn)間距離與判別式的值之間有何異同？具有一般的規(guī)律嗎？如何說明.
設(shè)x1、x2 為ax2+bx+c =0的兩根
可以推出：
還可以理解為頂點(diǎn)到x軸距離最短.
設(shè)計意圖：在對比、分析中，明確概念，揭示知識間的聯(lián)系，幫助學(xué)生建立良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu).
小結(jié)：觀察這道題的結(jié)論，我們猜測出規(guī)律，將其一般化，推導(dǎo)出這個公式，這是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一般方法.
解法㈡：用十字相乘法或求根公式法求根.
思考：一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系.
思考：求m取什么實(shí)數(shù)時，y =x2－（m2－1）x －2 m2－2被直線y =2所截得的線段最短？是多少？
練習(xí)：
觀察函數(shù) 的圖象，回答：
（1）y>0時，x的取值范圍如何？
（2）y=0時，x取什么值？
（1）y<0時，x的取值范圍如何？
小結(jié)：數(shù)與形是數(shù)學(xué)中相互依賴的兩個方面.圖形比較直觀，可以啟發(fā)思路；而數(shù)學(xué)的嚴(yán)格證明也是必不可少的.直觀性和形式化是數(shù)學(xué)的兩重性.
探究活動
探究問題：
欣欣日用品零售商店，從某公司批發(fā)部每月按銷售合同以批發(fā)單價每把8元購進(jìn)雨傘（數(shù)量至少為100把），欣欣商店根據(jù)銷售記錄，這批雨傘以零售單價每把為14元出售時，月銷售量為100把。如果零售單價每降價0.1元 , 月銷售量就要增加5把.
(1) 欣欣日用品零售商店以零售單價14元出售時，一個月的利潤為多少元？
(2) 欣欣日用品零售商店為了擴(kuò)大銷售記錄,現(xiàn)實(shí)行降價銷售,問分別降價0.2元、0.8元、1.2元、1.6元、2.4元、3元時的利潤是多少？
(3) 欣欣日用品零售商店實(shí)行降價銷售后，問降價多少元時利潤最大？最大利潤為多少元？
(4) 現(xiàn)在該公司的批發(fā)部為了再次擴(kuò)大這種雨傘的銷售量，給零售商制定如下優(yōu)惠措施：如果零售商每月從批發(fā)部購進(jìn)雨傘的數(shù)量超過100把，其超過100把的部分每把按原價九五折（即百分之95）付費(fèi)，但零售價每把不能低于10元。欣欣日用品零售商店應(yīng)將這種雨傘的零售單價定為每把多少元出售時，才能使這種雨傘的月銷售利潤最大？最大月銷售利潤是多少元？（銷售利潤=銷售款額—進(jìn)貨款額）
解：（1）（14—8） （元）
（2）638元、728元、748元、792元、792元、750元。
（3）設(shè)降價 元時利潤最大，最大利潤為 元
=
=
=
∴ 當(dāng) 時， 有最大值
元
（4）設(shè)降價 元時利潤最大，利潤為 元
（其中 ）。
化簡，得 。
，
∴ 當(dāng) 時， 有最大值。
∴ 。
數(shù)學(xué)教案－二次函數(shù)y=ax2+bx+c 的圖象