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“排列組合常見的解題策略”課例分析
----構(gòu)造模型策略
一、教材分析
排列和組合是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的重要組成部分之一，它在解決實(shí)際問題以及科學(xué)技術(shù)的研究中都有廣泛的應(yīng)用；在排列組合問題中充分體現(xiàn)了分類、化歸的數(shù)學(xué)思想。它應(yīng)用性強(qiáng)，具有題型多變，條件隱晦，思維抽象，分類復(fù)雜，問題交錯(cuò)，易出現(xiàn)重復(fù)和遺漏以及不易發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤等特征。因而在這部分教學(xué)中，應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，強(qiáng)調(diào)學(xué)生的主體作用，明確基本原理，注重思維過程的分析，讓學(xué)生在問題解決的過程中不斷反思探索規(guī)律，體驗(yàn)成功，從而提升學(xué)生的思維能力。
二、學(xué)情分析
高二(1)班的同學(xué)素質(zhì)高，思維活躍，其中十幾位同學(xué)參加數(shù)學(xué)奧賽輔導(dǎo)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)態(tài)度端正，興趣濃厚，有較強(qiáng)的數(shù)學(xué)能力和積極主動(dòng)的學(xué)習(xí)精神。
三、教學(xué)目的
1、認(rèn)知目標(biāo)：
使學(xué)生進(jìn)一步理解并掌握處理排列組合問題的基本策略，進(jìn)一步體會(huì)分類與化歸的數(shù)學(xué)思想方法以及分析與解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新意識(shí)。
2、技能目標(biāo)：
充分發(fā)揮教師的主導(dǎo)和學(xué)生的主體作用，使學(xué)生的自主意識(shí)、自學(xué)能力、探索創(chuàng)新意識(shí)得到發(fā)展。
3、情感目標(biāo)：
培養(yǎng)學(xué)生的自信心和學(xué)習(xí)興趣，樹立實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和不怕困難的進(jìn)取精神，積極探索，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。
四、教法分析
根據(jù)排列組合的知識(shí)特點(diǎn)“條件隱晦，思維抽象”，在教學(xué)中采用發(fā)現(xiàn)法，堅(jiān)持“思路教學(xué)”，深鉆教材，注意從實(shí)驗(yàn)入手，模擬發(fā)現(xiàn)，從特殊到一般，歸納出一般的規(guī)律，優(yōu)化學(xué)生的思路，激活學(xué)生的思維。
五、教學(xué)過程 分析
1、復(fù)習(xí)思考
（1）處理排列組合問題的常見解題策略
(提問學(xué)生作答)
問題一、街道旁有編號(hào)1、2、3、4、5、6、7、8、9、10共十只路燈，為節(jié)約用電又不影響照明，可以把其中的三只燈相滅，但不能同時(shí)熄滅相鄰兩只，在兩端的兩只路燈不熄滅的情況下，問不同的熄燈方法有多少種?
①通過復(fù)習(xí)提問總結(jié)解決排列組合問題的基本思路和方法。
②設(shè)置問題情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)欲望。通過引導(dǎo)，學(xué)生得出多種解法，從而優(yōu)化思維，發(fā)現(xiàn)規(guī)律為構(gòu)造數(shù)學(xué)模型一做好鋪墊。
2、創(chuàng)設(shè)情景
練習(xí)（1）：四個(gè)相同蘋果分給三個(gè)人，沒人至少一個(gè)，有多少種分配方案?(提問，多解)，電腦演示。
（2）：把六個(gè)名額分給三個(gè)班級(jí)，沒班至少一個(gè)名額，有多少種分法?(提問多解)，電腦演示，介紹插板法。
鞏固創(chuàng)設(shè)情景。
體現(xiàn)化歸思想，并將問題發(fā)散，從不同角度展示出問題的共性，給學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)、探索的空間，引入“插板”這一解決問題的策略。
3、提出猜想
你能編一道與本題意思相近的習(xí)題或?qū)⒈绢}推廣嗎?
學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，是課堂教學(xué)的探索者、發(fā)現(xiàn)者和創(chuàng)造者，讓他們的智慧火花充分閃亮。
4、探得索出分結(jié)析論
模型一：把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同的盒子中，要求每盒至少有一個(gè)球，問有多少種不同的方法?
歸納出共性，推廣到一般，抽象出數(shù)學(xué)模型，使學(xué)生的思維得到提升。
5、問題解決進(jìn)一步推廣
練習(xí)：(分組討論)
（1）求方程x+y+z=16的正整數(shù)解的組數(shù)。
（2）15個(gè)蘋果分給三個(gè)人，每人至少兩個(gè)，有多少種分法?
（3）把二十個(gè)相同的小球放入編號(hào)為1、2、3、4、的四個(gè)盒子中，要求每個(gè)盒子中的小球數(shù)目不少于編號(hào)數(shù)，求不同的放法種數(shù)。
弄清問題本質(zhì)，將問題轉(zhuǎn)化為模型，并能應(yīng)用模型解決問題。
6、新情境設(shè)計(jì)
（1）第二小題條件改為每人至少三個(gè)，有多少種分法?
（2）學(xué)生總結(jié)規(guī)律。
（3）如果條件改為每人分得蘋果個(gè)數(shù)不限，有多少種分法種數(shù)?
（4）你能將本題推廣嗎?
（5）改變條件提出新問題，讓學(xué)生有一個(gè)再發(fā)現(xiàn)，再創(chuàng)造的過程。
（6）培養(yǎng)學(xué)生自主探索創(chuàng)新意識(shí)。
7、探索分析
用電腦演示每人至少分得一個(gè)蘋果、二個(gè)蘋果和三個(gè)蘋果的情形，并由學(xué)生總結(jié)規(guī)律。體現(xiàn)從特殊到一般的思維方法，模擬發(fā)現(xiàn)，激勵(lì)探索，激活思路。
8、得出結(jié)論
模型二、把n個(gè)相同的小球放入m個(gè)不同盒子(n≥m≥1)，每個(gè)盒子容量不限，有多少種不同方法?
比較差異，將模型一進(jìn)一步推廣，使學(xué)生在“好奇”中產(chǎn)生“內(nèi)驅(qū)力”，進(jìn)而產(chǎn)生不斷探索的愿望。
9、問題
（1）中日圍棋擂臺(tái)賽規(guī)定各國(guó)各出7名隊(duì)員，按事先排好的順序出場(chǎng)參加圍棋擂臺(tái)賽，雙方先由1號(hào)隊(duì)員比賽，負(fù)者被淘汰，勝者再與負(fù)方2號(hào)隊(duì)員比賽…，直到有一方隊(duì)員全被淘汰為止，另一方獲得勝利，形成一個(gè)比賽過程，試求中方獲勝的所有可能出現(xiàn)的比賽過程的種數(shù)?
（2）從7個(gè)學(xué)校選出12人組成足球聯(lián)隊(duì)，要求每校至少有一個(gè)人參加，問各校名額分配共有多少種不同情況?
將問題綜合，讓學(xué)生分享探索帶來的成果，感受問題解決的成功喜悅，同時(shí)也使他們進(jìn)一步掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，激發(fā)探索的欲望。
10、小結(jié)
小結(jié)：回顧上述幾個(gè)例題的解答過程，我們可以看到一個(gè)共同的特點(diǎn)，就是利用一一對(duì)應(yīng)關(guān)系將一種不易直接求得其數(shù)目的計(jì)數(shù)模式轉(zhuǎn)化為另一種易于計(jì)算的模式，從而收到了簡(jiǎn)化問題的效果，可以說，這種通過建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系而化難為易的方法是數(shù)學(xué)中一種常用的方法，并且在代數(shù)問題發(fā)揮著極大的作用。另外，我們還推出了兩個(gè)模型，大家回去后希繼續(xù)對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行研究，掌握這個(gè)模型的各種變化，并要善于把各種具體問題歸結(jié)成這個(gè)模型的某一種方式，那么解排列組合問題就有了一定的規(guī)律可循了。
六、課題后記
1、本著堅(jiān)持以學(xué)生是探索發(fā)現(xiàn)的主體這一教學(xué)原則，教師的角色從知識(shí)的傳播者轉(zhuǎn)化為學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)，主動(dòng)探索的引導(dǎo)者和促進(jìn)者：學(xué)生以被動(dòng)接受知識(shí)轉(zhuǎn)到主動(dòng)參與，在討論探索中獲取知識(shí)。學(xué)生在教師的適時(shí)點(diǎn)撥下，通過自己動(dòng)腦，探索出兩個(gè)模型。由于學(xué)生親自品嘗了自己發(fā)現(xiàn)的樂趣，更激起了他們強(qiáng)烈的求知欲和創(chuàng)造欲。
2、體現(xiàn)循序漸進(jìn)原則。本課例的例題，練習(xí)題的安排體現(xiàn)了思維的階梯性，一步一個(gè)臺(tái)階，逐步引向深入。由于問題處在學(xué)生思維水平的“最近發(fā)展區(qū)”，因而為學(xué)生提供了自由想象的空間，最后指引學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，提出了新的探索目標(biāo)，從而滿足了不同層次學(xué)生的需要，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的思想。同時(shí)充分肯定學(xué)生的每一點(diǎn)進(jìn)步，使學(xué)生增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。
3、通過現(xiàn)代化教育技術(shù)，以電腦動(dòng)畫方式模擬思維的動(dòng)態(tài)過程，將抽象內(nèi)容形象化，激發(fā)學(xué)生興趣，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析和抽象概括能力。學(xué)生的“再發(fā)現(xiàn)”不是放任自流，而是在教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程 ，創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生自己從知識(shí)的發(fā)生，發(fā)展過程中去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)，認(rèn)識(shí)新知識(shí)，從而積極主動(dòng)地參與學(xué)習(xí)，充分體現(xiàn)教師的主導(dǎo)作用。
4、層層建構(gòu)，分層遞進(jìn)，引導(dǎo)學(xué)生逐步深入，符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)使學(xué)生易于理解，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神，優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)。解決重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，通過分層遞進(jìn)，既可照顧后進(jìn)生，又可促進(jìn)優(yōu)等生，達(dá)到面向全體學(xué)生的目的，使不同的學(xué)生都能得到發(fā)展。
七、點(diǎn)評(píng)
學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程是知識(shí)建構(gòu)的過程，是思維訓(xùn)練的過程。本節(jié)課充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，通過精心設(shè)計(jì)問題，讓學(xué)生去探索，發(fā)現(xiàn)從特殊到一般，歸納規(guī)律，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，掌握分類的數(shù)學(xué)思想和化歸的方法，分層遞進(jìn)不斷深化。課堂思維密度大，高潮迭起，是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和課堂開展研究性學(xué)習(xí)的典型范例。
“排列組合常見的解題策略”課例分析
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