清華大學(xué)自主招生筆試部分試題 ( 一 )
08歲末，鄙人有幸進(jìn)京赴清華大學(xué)自主招生之考，清華大學(xué)自主招生筆試部分試題 ( 一 )
。沐09年之第一縷陽(yáng)光，予赴清華六號(hào)教學(xué)樓正式參考。彼時(shí)，人山人海，雖狡兔亦不得出入于六教大樓。舉目四望，所見(jiàn)者皆三省之精英。數(shù)理化得全國(guó)頭獎(jiǎng)?wù)卟豢蓜贁?shù)。置身于彼，誠(chéng)惶誠(chéng)恐，自知實(shí)力不濟(jì)，又加清華之盛名于上，自覺(jué)力難從心。自京返，深感有愧于山東父老……以下是我根據(jù)記憶默寫的部分題目（自主招生的規(guī)矩，片紙不得離場(chǎng)）及部分解答，若有差池，請(qǐng)?jiān)�。但愿�?duì)日后有志于自主招生的學(xué)弟學(xué)妹有所幫助。
后死諸君多努力，勉乎哉！
中英文綜合：
英語(yǔ)部分：?jiǎn)芜x題詞匯要求極高，完型、閱讀簡(jiǎn)單。
語(yǔ)文部分：四篇現(xiàn)代文閱讀分別關(guān)于“白居易的粉絲”“四年前與 的邂逅”“城市記憶與歷史”“傳統(tǒng)油畫的生命力為何強(qiáng)”。
中英文寫作：為含有以上四個(gè)文本的版面設(shè)計(jì)一個(gè)稱謂，并寫800字左右的文章陳述之。翻譯一下文言文成現(xiàn)代漢語(yǔ)；用英文翻譯并評(píng)論之。
“小說(shuō)家者流，蓋出于稗官，街談巷語(yǔ)，道聽(tīng)途說(shuō)者之所造也�？鬃釉唬�‘雖小道，必有可觀者焉，至遠(yuǎn)恐泥。’是以君子弗為也，然亦弗滅也，呂里小知者之所及，亦使綴而不忘，如或一言可采，此亦芻狂夫之議也”
數(shù)學(xué)：(^表示指數(shù)位置)
1、(5^0.5+1)/(5^0.5-1)整數(shù)部分為A，小數(shù)部分為B。求：（1）A、B（2）B+B^2+B^3+……＋B^n（比較簡(jiǎn)單）
2、求證：（1）當(dāng)x+y=1，x^2n+y^2n≥0.5^(2n-1)（我的思路：x^2n+y^2n>=2(x^(2n)*y^(2n)),當(dāng)且僅當(dāng)x=y＝0.5時(shí)等號(hào)成立，
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《清華大學(xué)自主招生筆試部分試題 ( 一 )》(http://clearvueentertainment.com)。當(dāng)x=y，右式等于0.5^(2n-1),證明完畢。）（2）a,b,c>0,任意將其排序?yàn)閤,y,z。求證：a/x+b/y+c/z>=3(除了用競(jìng)賽上講的排序不等式，沒(méi)想到其它做法)
3、問(wèn)x^2+2px+2q=0,p、q是奇數(shù)時(shí)是否有有理數(shù)根，證明之。（我的思路：不存在。要證明不存在，只需證delta不是有理數(shù)，只需證判別式不是完全平方數(shù)。設(shè)p^2-2q=a^2,a是整數(shù)。則：p^2是奇數(shù)，2q是偶數(shù)，故a是奇數(shù)。P^2-a^2=(p+a)(p-a)＝2p的'兩個(gè)因式均為偶數(shù)，推出2p被4整除，與p是奇數(shù)矛盾，得證）
4、橢圓x^2/(a^2)＋y^2/(b^2)=1,過(guò)A(-a，0)做l交橢圓與P交y軸于R，過(guò)O做l’平行于l交橢圓于Q.求證：AP、根二倍OQ、AR成等比數(shù)列
5、寫出所有公差是8的三項(xiàng)等差質(zhì)數(shù)列。（我的思路：『3，11，19』證明：公差為8的質(zhì)數(shù)列，故不含偶數(shù)。滿足質(zhì)數(shù)列，故不被3整除，首項(xiàng)可寫作3n＋1或3n+2。當(dāng)為3n+1，第二項(xiàng)是3n+9，和數(shù)，排除；當(dāng)為3n+2，第三項(xiàng)為3n+18，和數(shù)，排除。故3，11，19是唯一滿足條件的數(shù)列）
6、sin t＋cos t＝1，z=cos t+i sin t(i是虛數(shù)單位)，求z^0+z^1+z^2+z^3+……+z^n(我的思路：貌似是應(yīng)用復(fù)數(shù)的三角形式，好像要討論)
7、求證：a1,a2,a3,a4……a2n+1各項(xiàng)相等的充要條件是數(shù)列『an』滿足條件：從中任取2n項(xiàng)，均可分成各含n項(xiàng)的兩組使兩組各項(xiàng)之和相等（不會(huì)，不過(guò)不知道假設(shè)其不相等，按從大到小的順序排列之后有沒(méi)有辦法做）
8、四面體ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD=BC，求證：（1）其四個(gè)面都是銳角三角形（2）若同一面上三個(gè)二面角是a,b,c，cosa+cosb+cosc=1
9、三位數(shù)中任取一數(shù)，求：它是5的倍數(shù)的概率；它恰有兩位數(shù)字相等的概率
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