讀《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》有感
讀完馬博士這本風(fēng)靡美國(guó)的著作，對(duì)我沖擊很大有兩點(diǎn)：原來(lái)名著是這樣寫成的，感嘆于她另類的寫作手法；原來(lái)美國(guó)老師這么笨，相比之下中國(guó)老師這么聰明，不可同日而語(yǔ)啊。
摘錄：本文是選取了四道數(shù)學(xué)題：退位減法、多位數(shù)乘法、分?jǐn)?shù)除法，以及封閉圖形面積和周長(zhǎng)的關(guān)系，每一道題就是一個(gè)研究專題。先設(shè)計(jì)課堂情境，再請(qǐng)美、中教師就此內(nèi)容闡述教法和解法。厲害的是馬博士能將這些習(xí)以為常的方法進(jìn)行深入剖析，反應(yīng)了其背后隱藏的數(shù)學(xué)原理。最后通過(guò)對(duì)比談?wù)剝蓢?guó)教師的知識(shí)差別。
感悟：其中我很費(fèi)解的兩個(gè)詞：“過(guò)程性理解和概念性理解”。 借1與退1的區(qū)別：位值退1是過(guò)程性，退1相關(guān)的原理是概念性。收獲較大的是看完后更好地對(duì)“知識(shí)網(wǎng)絡(luò)”、“知識(shí)包”的理解。如書(shū)上114頁(yè)，三幅對(duì)比圖，就是由原來(lái)完全分離的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)，再變成四個(gè)手牽手的圖，有隱性聯(lián)系數(shù)學(xué)基本態(tài)度，有顯性的練習(xí)基本原理。反應(yīng)了他對(duì)數(shù)學(xué)的深刻理解，包括寬度、深度、關(guān)聯(lián)度和完整度。除了圖式的講解，還有更形象的比喻，我們掌握知識(shí)就得像熟練的出租車司機(jī)理解城市，有多條路，腦海里有個(gè)錯(cuò)綜復(fù)雜的地圖。
第一章：重組數(shù)字做減法的區(qū)別：
例子：美國(guó)老師覺(jué)得7+2+3=9=12對(duì)的，連中國(guó)學(xué)生也不會(huì)犯這樣的錯(cuò)誤。
美國(guó)教師的方法：“拿1個(gè)10來(lái)?yè)Q成10個(gè)一，‘拿’是重組，‘變’是轉(zhuǎn)換�！薄安荒軓妮^小的數(shù)中減去較大的'數(shù)，于是就向它的鄰居‘借’1。”這句話中有很多數(shù)學(xué)語(yǔ)病。小數(shù)也可減大數(shù)，鄰居暗示了十位與個(gè)位是兩個(gè)獨(dú)立的數(shù)而不是一個(gè)數(shù)的兩個(gè)部分�！敖钄�(shù)”暗示計(jì)算中的數(shù)值可以任意改變，可以‘借’值。
中國(guó)教師方法：“退一”與“進(jìn)一”相對(duì)應(yīng)。通過(guò)“十進(jìn)制”、“位值”來(lái)解釋。還介紹了重組的多種途徑。如53-26:53分成40和13；53分成40、10和3或者26分成20、3和3等等。特別強(qiáng)調(diào)知識(shí)包。做53-26時(shí)，他們已經(jīng)有了“20以內(nèi)減法”做基礎(chǔ)，而且必需學(xué)得非常扎實(shí)。他們說(shuō)，減法中的重組思想，把高位上退一到低位上的值，是通過(guò)學(xué)習(xí)三個(gè)水平的問(wèn)題而形成的。20以內(nèi)、100以內(nèi)，再更大的被減數(shù)。在教一個(gè)知識(shí)點(diǎn)時(shí)應(yīng)該把知識(shí)看做一個(gè)包，而且要知道當(dāng)前的知識(shí)在知識(shí)包中的作用。你還要知道你所教的這個(gè)知識(shí)受到哪些概念或過(guò)程的支持，所以你的教學(xué)要依賴于、強(qiáng)化并詳細(xì)描述這些概念的學(xué)習(xí)。
對(duì)比：美國(guó)老師青睞“借位”，而中國(guó)教師解釋這個(gè)算法是“退一”。
第二章：多位數(shù)的乘法：處理學(xué)生的錯(cuò)誤
錯(cuò)題： 123 三次乘積都與個(gè)位對(duì)齊。
×645
615
492
738
1845
美國(guó)老師認(rèn)為錯(cuò)因：學(xué)生沒(méi)有很好地理解位值，，只從表面上看成4乘3。不會(huì)進(jìn)行移位，沒(méi)有記住公認(rèn)的規(guī)則。美國(guó)教師自己也不清楚的是：積492實(shí)際上是4920。認(rèn)為零是“人為的”。只是為了占位。
策略：過(guò)程性的：
描述規(guī)則：個(gè)位上的5，就從個(gè)位開(kāi)始；十位上的4就向左移位，將乘積放在十位上的4下面。；然后移到百位。以此類推。
使用帶橫線的紙：將紙豎起來(lái)，一列里面寫一個(gè)數(shù)。從而保證能正確地排列這些中間乘積。
用占位符：在空格處放一個(gè)蘋果、一個(gè)橘子、一頭大象。只需要服從老師有趣的、武斷的命令就行。
解釋基本原理：123就是100加20加3,5個(gè)123,40個(gè)123,600個(gè)123.
將該問(wèn)題拆成三個(gè)小問(wèn)題：123分別乘以5、40、600積為615、4920和73800再相加。
中國(guó)教師認(rèn)為：
解釋錯(cuò)誤：分配律：123×645=123×（600+40+5）改成詳細(xì)豎式，再擦去0成階梯型的豎式。
10和10的冪的乘法，×10和×100
位值制：論證123乘以4個(gè)10是492個(gè)10，解釋為什么492應(yīng)該與10位相對(duì)齊。一個(gè)數(shù)的大小不僅僅依靠它所含有的數(shù)字，而且還和這些數(shù)字放置的數(shù)位有關(guān)。
知識(shí)包：位值、乘法的意義、乘法的基本原理、兩位數(shù)的乘法、一位數(shù)的乘法、10的乘法、10的倍數(shù)和冪，以及交換律。重點(diǎn)是兩位數(shù)的乘法。（圖P44略）
策略：解釋和示范：492個(gè)十，2應(yīng)該寫在哪里？738個(gè)百，8應(yīng)該寫在哪里？
學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：
觀察，檢查，分析和討論；通過(guò)問(wèn)問(wèn)題進(jìn)行引導(dǎo)；診斷性練習(xí)。
對(duì)比：美國(guó)教師遵循“對(duì)齊乘數(shù)”的法則，中國(guó)教師用位值和位值制的概念，解釋為什么中間乘積在乘法中不像加法中的對(duì)齊方式那樣對(duì)齊。
第四章：探索新知識(shí)：周長(zhǎng)與面積的關(guān)系。
當(dāng)一個(gè)封閉圖形的周長(zhǎng)增加時(shí)，它的面積也會(huì)隨之增加。判斷并證明。
美國(guó)教師：查書(shū)。因?yàn)椴焕斫夤降倪\(yùn)算推導(dǎo)，所以要找人告訴他反例，查閱書(shū)本并且找出反例。要求更多的實(shí)例、數(shù)學(xué)方法。面對(duì)學(xué)生觀點(diǎn)的反應(yīng)：簡(jiǎn)單接受9%，沒(méi)有用數(shù)學(xué)方式研究78%，用數(shù)學(xué)方式研究13%。教師負(fù)責(zé)地評(píng)價(jià)學(xué)生觀點(diǎn)的正確性，和學(xué)生一起研究她的觀點(diǎn)的正確性。
中國(guó)教師：70%能正確解決。推翻這個(gè)命題：理解的第一層水平。識(shí)別可能性：理解的第二層水平。澄清條件：理解的第三層水平。解釋條件：理解的第四層水平。
對(duì)比：美國(guó)教師傾向于關(guān)注“周長(zhǎng)增加，面積也增加”的觀點(diǎn)正誤。而中國(guó)教師探討周長(zhǎng)和面積之間的關(guān)系。3名（13%）美國(guó)教師獨(dú)立做了研究，只有一名得到了正確的答案。66名（92%）中國(guó)教師做了數(shù)學(xué)的研究，有44名（62%）教師得到了正確的答案。掌握一個(gè)領(lǐng)域的基本思想不僅僅包括掌握一般原理，而且還包括發(fā)展對(duì)學(xué)習(xí)和調(diào)查、猜想和直覺(jué)，獨(dú)立解決問(wèn)題的可能性的態(tài)度。
只有那些對(duì)數(shù)學(xué)有適應(yīng)力的教師，才能培養(yǎng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)探究的能力。中國(guó)教師對(duì)學(xué)科的文化適應(yīng)更強(qiáng)。他們傾向于嚴(yán)謹(jǐn)思考，用數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)討論，并用數(shù)學(xué)的論證來(lái)判斷他們的見(jiàn)解。
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