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阿波羅尼斯圓
阿波羅尼斯圓
考試說明：阿波羅尼斯圓經(jīng)常在高考中出現(xiàn)： 一、知識梳理
如圖，點A,B為兩定點，動點P滿足PA??PB， 則??1時，動點P的軌跡為 ；
P
A
當??1時，動點P的軌跡為 ，后世稱之為阿波羅尼斯圓．
二、診斷練習
1、已知兩定點A(?1,0),B(2,0)，動點P滿足
PAPB
?
1
，則P點的軌跡方程為2
三、典型例題
例1、已知兩點A(0,2),B(1,0)，直線l:3x+y+m=0上一點P
滿足PA=，則實數(shù)m的取值范圍是 。
1
變式1：滿足條件AB?2,AC?
2BC的三角形ABC的面積的最大值是 ．
變式2：在平面直角坐標系xOy中，點A?0,3?，直線l：y?2x?4.設(shè)圓的半徑為1 ，圓心在l上.若圓C上存在點M，使MA?2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍.
四、課堂達標
C(0,aD),1、在平面直角坐標系xOy中，設(shè)點A(1,0),B(3,0),
(0,a?
P
，使得2，若存在點
PA?,PC?PD，則實數(shù)a的取值范圍是．
2
阿波羅尼斯圓
一、知識梳理
直線；圓
二、診斷練習
1、x2?y2?4x?0
三、典型例題
思路分析：由PA可知，點P的軌跡是一個圓，問題即為直線和圓有公共點。
例1、解：設(shè)點Px,y，由條件可得，點P的軌跡是x2-4x+y2+4y=2，而點P又在直線上，也就是說，直線和圓有公共點。所以，m???14,6?。
點評：若A,B是兩個定點，滿足PA?kPB(k?1)的動點P的軌跡是一個圓。這個結(jié)論在高考中經(jīng)常出現(xiàn)。
()
0），變式1：解：以AB中點為原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，則A（?1，
22
）?y2?2?x?1）?y2， B（1，0），設(shè)C（x，y），由AC?2BC得x?1
2
平方化簡整理得y2??x2?6x?1??（x?3）?8?8，∴y?22，則
1
??2y?22，∴S?ABC的最大值是22． 2
22
變式2：解： 設(shè)C?a,2a?4?，則圓方程為?x?a???y?2a?4??1
222222
又設(shè)M(x0,y0)， ?MA?2MO ?x0??y0?3??4x0?4y0， 即x0??y0?1??4 S?ABC?
2
這說明M既在圓?x?a???y?2a?4??1上，又在圓x??y?1??4上，因而這兩個圓
2
2
2
必有交點，即兩圓相交或相切，
?2?1?解得0?a?
?2?1，
1阿波羅尼斯圓212，即a的取值范圍是[0,]． 55
四、課堂達標
1、解：設(shè)P(x,y
)
?
，
整理得(x?5)?y?8，即動點
P在以(5,0)為圓心， 另一方面，由PC?PD知動點P在線段CD的垂直平分線y?a?1上運動，因而問題就轉(zhuǎn)化為直線y?a?1與圓(x?5)?y?8有交點，
所以a?
1?a
的取值范圍是[?11]．
3
2
2
22
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