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全等三角形動點(diǎn)專題
全等三角形—動點(diǎn)專題
1．如圖，在長方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以2cm/秒的速度沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒：
（1）PC= cm．（用t的代數(shù)式表示）
（2）當(dāng)t為何值時，△ABP≌△DCP？
（3）當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以v cm/秒的速度沿CD向點(diǎn)D運(yùn)動，是否存在這樣v的值，使得△ABP與△PQC全等？若存在，請求出v的值；若不存在，請說明理由．
2．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由點(diǎn)C向點(diǎn)A點(diǎn)以a厘米/秒運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，
（1）求CP的長（用含t的式子表示）；
（2）若以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形和以B、D、P為頂點(diǎn)的三角形全等，且∠B和∠C是對應(yīng)角，求a的值
3．如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB 的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．當(dāng)一個點(diǎn)停止運(yùn)動時時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動clearvueentertainment.com．設(shè)運(yùn)動時間為t．
（1）用含有t的代數(shù)式表示CP．
（2）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
（3）若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
4．如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8．點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)沿A-C-B路徑向終點(diǎn)運(yùn)動，終點(diǎn)為B點(diǎn)；點(diǎn)Q從B點(diǎn)出發(fā)沿B-C-A路徑向終點(diǎn)運(yùn)動，終點(diǎn)為A點(diǎn)．點(diǎn)P和Q分別以1和3的運(yùn)動速度同時開始運(yùn)動，兩點(diǎn)都要到相應(yīng)的終點(diǎn)時才能停止運(yùn)動，在某時刻，分別過P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F．問：點(diǎn)P運(yùn)動多少時間時，△PEC與QFC全等？請說明理由．
如圖，在等邊?ABC的頂點(diǎn)A、C處各有一只蝸牛，它們同時出發(fā)，分別以每分鐘1各單位的速度油A向B和由C向A爬行，其中一只蝸牛爬到終點(diǎn)時，另一只也停止運(yùn)動，經(jīng)過t分鐘后，它們分別爬行到D,E處，請問
（1）在爬行過程中，CD和BE始終相等嗎？
（2）若蝸牛沿著AB和CA的延長線爬行，EB與CD交于點(diǎn)Q，其他條件不變，如圖（2）所示，，求證：∠CQE=60?
（3）如果將原題中“由C向A爬行”改為“沿著BC的延長線爬行，連接DE交AC于F”，其他條件不變，則爬行過程中，DF始終等于EF是否正確
6、如圖1，若△ABC和△ADE為等邊三角形，M，N分別EB，CD的中點(diǎn)，易證：CD=BE，△AMN是等邊三角形．
（1）當(dāng)把△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖2的位置時，CD=BE是否仍然成立？若成立請證明，若不成立請說明理由；
（2）當(dāng)△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖3的位置時，△AMN是否還是等邊三角形？若是，請給出證明，并求出當(dāng)AB=2AD時，△ADE與△ABC及△AMN的面積之比；若不是，請說明理由．
圖1 圖2 圖3
7、如圖，已知△ABC中，AB=AC=10厘米，BC=8厘米，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
9.（2009年本溪）在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是直線BC上一點(diǎn)（不與B、C
BAC，連重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠．．
接CE．
（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，如果∠BAC=90°，則∠BCE= 度；
（2）設(shè)∠BAC=α，∠BCE=β．
①如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上移動，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；
②當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上移動，則α，β之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的結(jié)論．
E
B 圖1
C D 圖2 E
備用圖 備用圖
例4.如圖，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn).
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以3cm/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CA上由C點(diǎn)向A點(diǎn)運(yùn)動.
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPD
與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿△ABC三邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
變式 如圖，在等邊△ABC中，AB=9cm，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿CB邊向點(diǎn)B點(diǎn)以2cm/s的速度移動，點(diǎn)Q點(diǎn)從B點(diǎn)出發(fā)沿BA邊向A點(diǎn)以5cm/s速度移動．P、Q兩點(diǎn)同時出發(fā)，它們移動的時間為t秒鐘．
（1）你能用t表示BP和BQ的長度嗎？請你表示出來．
（2）請問幾秒鐘后，△PBQ為等邊三角形？
（3）若P、Q兩點(diǎn)分別從C、B兩點(diǎn)同時出發(fā)，并且都按順時針方向沿△ABC三邊運(yùn)動，請問經(jīng)過幾秒鐘后點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在△ABC的哪條邊上相遇？
11. 如下圖，已知正方形ABCD中，邊長為10厘米，點(diǎn)E在AB邊上，BE=6厘米．
（1）如果點(diǎn)P在線段BC上以4厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動．
①若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度相等，經(jīng)過1秒后，△BPE與△CQP是否全等，請說明理由；
②若點(diǎn)Q的運(yùn)動速度與點(diǎn)P的運(yùn)動速度不相等，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動速度為多少時，能夠使△BPE與△CQP全等？
（2）若點(diǎn)Q以②中的運(yùn)動速度從點(diǎn)C出發(fā)，點(diǎn)P以原來的運(yùn)動速度從點(diǎn)B同時出發(fā)，都逆時針沿正方形ABCD四邊運(yùn)動，求經(jīng)過多長時間點(diǎn)P與點(diǎn)Q第一次在正方形ABCD邊上的何處相遇？
8.思考與推理 如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=6cm，CB=CD，AB⊥BC，CD⊥AD，∠BCD=120°. ∠PCQ=60°，兩邊分別交線段AB、AD于點(diǎn)P、Q，把△PBC繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)120°得到△MDC.請在圖中找出一對全等的三角形并加以證明（△PBC與△MDC除外）.
探究與應(yīng)用 在上邊的條件下，若∠PCQ繞頂點(diǎn)C在∠BCD內(nèi)轉(zhuǎn)動，兩邊始終與線段AB、AD相較于點(diǎn)P、Q，試探究在轉(zhuǎn)動過程中△APQ的周長是否變化，若不變，求它的周長；若變化，請說明理由
.
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