會議籌備問題數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀

時間：2023-05-01 11:05:32 資料我要投稿

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會議籌備問題數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀模板

青島科技大學(xué)自動化與電子工程學(xué)院測控技術(shù)與儀器131

會議籌備問題數(shù)學(xué)建模優(yōu)秀模板

會議籌備問題

摘要

本文主要研究會議的籌備問題。一次成功的會議，是以前期充分的籌備為前提的。會議籌備的完善與否，將直接關(guān)系著會議的經(jīng)費(fèi)問題，調(diào)動人員是否方便以及與會代表的滿意程度，因此，會議籌備的優(yōu)化問題具有重要意義。本文對此問題建立了線性擬合，線性規(guī)劃等數(shù)學(xué)模型并利用Matlab軟件及Lingo軟件解決了優(yōu)化問題。

首先根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)，通過線性擬合的方法對近幾屆發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實際的到會人數(shù)之間利用Matlab軟件進(jìn)行了直線擬合和曲線擬合，并通過線性回歸的方法選取較為準(zhǔn)確的預(yù)測值，預(yù)測出第五屆與會人數(shù)為639人。再由與會人數(shù)和代表有關(guān)住房要求預(yù)訂賓館的客房，預(yù)訂時考慮到經(jīng)濟(jì)，方便和代表是否滿意三方面的優(yōu)化，建立了線性規(guī)劃模型，實現(xiàn)了賓館的選擇和客房的分配，利用Lingo軟件求解所得結(jié)果見模型求解部分表6。然后對會議室的租借問題進(jìn)行了求解，同樣建立了線性規(guī)劃模型，得到會議只安排結(jié)果為：選擇2號賓館130人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個。

由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，所以在向汽車租賃公司租用客車接送代表時，首先明確了在每個旅館入住的代表人數(shù)，又計算出每個旅館需要出行的人數(shù)，再根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛，考慮到經(jīng)濟(jì)和方便兩個方面，得出結(jié)果見模型求解中表9所示。

最后本文對模型進(jìn)行了客觀的評價，提出了對模型進(jìn)行改進(jìn)的建議，并對模型在其它領(lǐng)域的應(yīng)用做了推廣。

關(guān)鍵詞：線性擬合；精度分析；線性規(guī)劃；優(yōu)化分析

1. 問題重述

某市的一家會議服務(wù)公司負(fù)責(zé)承辦某專業(yè)領(lǐng)域的一屆全國性會議，會議籌備

組要為與會代表預(yù)訂賓館客房，租借會議室，并租用客車接送代表。由于預(yù)計會議規(guī)模龐大，而適于接待這次會議的幾家賓館的客房和會議室數(shù)量均有限，所以只能讓與會代表分散到若干家賓館住宿。為了便于管理，除了盡量滿足代表在價位等方面的需求之外，所選擇的賓館數(shù)量應(yīng)該盡可能少，并且距離上比較靠近。籌備組經(jīng)過實地考察，篩選出10家賓館作為備選，它們的名稱用代號①至⑩表示，相對位置見附圖，有關(guān)客房及會議室的規(guī)格、間數(shù)、價格等數(shù)據(jù)見附表1。

根據(jù)這屆會議代表回執(zhí)整理出來的有關(guān)住房的信息見附表2。從以往幾屆會議情況看，有一些發(fā)來回執(zhí)的代表不來開會，同時也有一些與會的代表事先不提交回執(zhí)，相關(guān)數(shù)據(jù)見附表3。附表2，3都可以作為預(yù)訂賓館客房的參考。

需要說明的是，雖然客房房費(fèi)由與會代表自付，但是如果預(yù)訂客房的數(shù)量大于實際用房數(shù)量，籌備組需要支付一天的空房費(fèi)，而若出現(xiàn)預(yù)訂客房數(shù)量不足，則將造成非常被動的局面，引起代表的不滿。

會議期間有一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室。由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，籌備組還要向汽車租賃公司租用客車接送代表�，F(xiàn)有45座、36座和33座三種類型的客車，租金分別是半天800元、700元和600元。

請你們通過數(shù)學(xué)建模方法，從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意等方面，為會議籌備組制定一個預(yù)訂賓館客房、租借會議室、租用客車的合理方案。

2. 模型假設(shè)

1) 由于賓館的會議室最大規(guī)模為200人，所以假設(shè)分組會議的最大規(guī)模為200

人；

2) 假設(shè)備選賓館及車輛閑置，可供我們?nèi)我膺x擇；

3) 假設(shè)代表是否滿意只與是否分到符合自己住房要求的房間有關(guān)； 4) 假設(shè)提出住房要求的代表回執(zhí)數(shù)即為發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量；

5) 假設(shè)預(yù)測人數(shù)住房要求情況比例與回執(zhí)中代表住房要求比例相同； 6) 假設(shè)每個代表參加每個會議的概率為1/6；

3. 通用符號說明

4.模型的建立與求解

4.1問題分析

若要從經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意幾個方面制定一個合理方案，打算首先預(yù)測今年與會人數(shù)，擬建立線性擬合模型，想要根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)進(jìn)行直線擬合與曲線擬合，求值以后再進(jìn)行比較，通過Matlab軟件求得直線擬合與曲線擬合的方程，得到兩個預(yù)測值，準(zhǔn)備利用靈敏度分析獲得一個更加精確的預(yù)測值；再打算進(jìn)行住房的安排，擬建立線性規(guī)劃模型，根據(jù)經(jīng)濟(jì)原則，兼顧代表回執(zhí)中的住房要求，完成住房安排。同樣打算利用線性規(guī)劃的方法解決會議室租借的問題。在完成客車的租借時，由于事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，首先想要明確在每個旅館入住的代表人數(shù)，再計算出每個旅館需要出行的人數(shù)，最后在經(jīng)濟(jì)和方便的原則下，根據(jù)出行代表人數(shù)安排車輛。 4.2模型準(zhǔn)備

1) 對附表二中所給出信息進(jìn)行統(tǒng)計可知，第五屆發(fā)來回執(zhí)數(shù)為755。 2) 在確定賓館、入住房間及人員數(shù)量時，我們根據(jù)經(jīng)濟(jì)、方便、代表滿意的前

提，遵循選定賓館數(shù)量最少、.各賓館之間距離最近、代表滿意三個原則，對題目所給的數(shù)據(jù)進(jìn)行了預(yù)處理，見附錄2中表1，表2，表3，表4，表5。

通過賓館的位置分布圖可以看出7號賓館的位置與周圍多家賓館相近，交通最為方便，所以，選取了7號賓館為中心尋找其他賓館。

3) 在租借會議室時，由于會議期間有第一文庫網(wǎng)一天的上下午各安排6個分組會議，籌備組需要在代表下榻的某幾個賓館租借會議室，且事先無法知道哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會，所以，如不考慮每組會議的人數(shù)我們可以選擇7號賓館，既可以滿足人數(shù)上的需求，又只在一個賓館，比較方便，而且花費(fèi)最少。 4.3模型建立

4.3.1預(yù)測今年與會人數(shù)時采用線性擬合模型 1) 線性擬合原理[1]

一元線性擬合是指兩個變量x、y之間的直線因果關(guān)系，

Yi??0??1Xi??i(i?1,2,...,n)(1)

其中，(Xi,Yj)表示(X,Y)的第i個觀測值，?0，?1為參數(shù)，?0??1Xi為反映統(tǒng)計關(guān)系直線的分量，?i為反映在統(tǒng)計關(guān)系直線周圍散布的隨機(jī)分量，?i~N(0,?2)，式(1)中?0，根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對?0和?1進(jìn)行統(tǒng)計，?i服從正態(tài)分布。?1均為未知數(shù)，tyrsz?0和?1的估計值為b0和b1，建立一元線性方程：

Y?b0?b1X(2)

一般而言，所求的b0和b1應(yīng)能使每個樣本觀測點(diǎn)(Xi,Yj)與擬合直線之間的偏差盡可能小。

2) 最小二乘原理[1]

利用最小二乘原理，可以選出一條最能反映Y與X之間關(guān)系規(guī)律的直線。令

Q??[Yi?(b0?b1Xi)]2(3)

i?1n

其中Q達(dá)到最小值，b0和b1稱為最小二乘法估計量，根據(jù)微積分中極值的必要條件

??2?[Yi?(b0?b1Xi)]?0(4) ?b0i?1

??2?[Yi?(b0?b1Xi)]Xi?0(5) ?b1i?1

b1?

?(X

i?1

ni?1

?X)Yi

(6)

?(X

?X)2

b0?Y?b1X(7)

殘差ei?Yi?Y?Yi?b0?b1Xi代表觀測點(diǎn)對于擬合直線的誤差。

可以證明

?(Y?Y)??(Y?Y)??(Y?Y)

i?1

(8)

殘差越小，各觀測值聚焦在擬合直線周圍的緊密程度就越大，說明直線與觀測值的擬合越好。

3) 選取擬合程度更好的曲線

為了曲線擬合的優(yōu)劣，取m?1,2,3,4四種曲線類型，以便觀測m取值不同時，多項式擬合程度的好壞，從而選取一條擬合誤差較小的曲線。

擬合優(yōu)度R是衡量所配曲線擬合原始數(shù)據(jù)效果好壞的指標(biāo)，擬合優(yōu)度：

R?(9)

其中，擬合優(yōu)度R的取值為?0,1?，R越接近1時所配曲線擬合效果越好，根據(jù)擬合優(yōu)度R來選取較為理想的曲線類型。 4.3.2線性規(guī)劃模型[2]

(一) 在確定住房安排時，模型建立過程如下： 1) 確定目標(biāo)函數(shù)

為了確定賓館i是否被預(yù)定，引入0-1變量，確定賓館數(shù)量，即：

?1fi??(10)

其中1代表預(yù)訂賓館，0代表不預(yù)訂賓館。

根據(jù)題意要求，本文將預(yù)訂賓館數(shù)量最少作為目標(biāo)函數(shù) 即：

minz??fi(11)

i?1

2) 確定約束條件

約束條件一：由于單人間數(shù)量不足，獨(dú)住的人可以安排在雙人間，所以雙人間數(shù)量要比實際合住數(shù)量多,因此：n所賓館的第j類住房數(shù)量之和不小于預(yù)訂第

j類住房的總數(shù)量（j=1,2,3分別代表附表中的前三種情況），即：

i?1

?aj(j?1,2,3)(12)

賓館的第j類住房數(shù)量之和不大于預(yù)訂第j類住房的要求總數(shù)量（j=4,5,6分別代表附表中的后三種情況），即：

i?1

?aj(j?4,5,6)(13)

約束條件二：預(yù)訂賓館i的房間數(shù)之和不大于賓館i的房間總數(shù)，即：

j?1

?bifi(14)

約束條件三：由于單間數(shù)量不足，為滿足代表們獨(dú)住的要求，需使得合住1與獨(dú)住1，合住2與獨(dú)住2，合住3與獨(dú)住3，分別滿足預(yù)訂房間的總和不小于與會代表實際需求的房間數(shù)k，l，m，即：

?x??x

i1i?1n

i?1n

?k(15)

?x??x

i?1

?l(16)

?x??x

i3i?1

i?1

?m(17)

約束條件四：預(yù)訂i賓館j類房間的數(shù)量不大于該種的房間數(shù)量，即：

xij?Aij(18)

其中，Aij為賓館i第j種房間的數(shù)量。 3) 綜上所述建立模型

minz??fi(19)

i?1

??xij?aj(j?1,2,3)?i?1?n

??xij?aj(j?4,5,6)?i?1?6

??xij?bifi?j?1

n??n

s..t??xi1??xi4?k(20)

i?1?i?1

n?n

??xi5??xi2?l

i?1?i?1

n?n

??xi3??xi6?m

i?1?i?1

?xij?Aij???

(二) 在完成會議室的租借問題時，建立模型如下： 1) 確定目標(biāo)函數(shù)

為了預(yù)測會議室的選址，再次引入0，1?變量，建立以會議室租金為目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃模型。設(shè)共有n個會議室可以租借，fi代表0或1，其中0代表不租用會議室，1代表租用會議室。根據(jù)經(jīng)濟(jì)性的原則，為了使花費(fèi)最少，則使目標(biāo)函數(shù)為：租用會議室租金?選定各賓館會議室租金乘以fi。即

min??qifi(21)

i?1

2) 約束條件

若一共有n間會議室，有p組會議，且會議室可容納人數(shù)大于與會代表總?cè)藬?shù)N，則

??fi?p?i?1

(22) ?n

?cf?N?ii??i?1

4.4模型求解

4.4.1預(yù)測今年與會人數(shù)

我們打算根據(jù)今年發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量來預(yù)測今年到會的人數(shù)，由于實際到

會人數(shù)?發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)量?發(fā)來回執(zhí)但未與會的代表數(shù)量?未發(fā)回執(zhí)而與會的代表數(shù)量，故先對以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況進(jìn)行了整理得到表6如下：

為使預(yù)測值盡可能的精確，分別采用直線擬合與曲線擬合的方法求值以后再進(jìn)行比較。對發(fā)來回執(zhí)的代表數(shù)與實際的到會人數(shù)之間的關(guān)系使用Matlab軟件進(jìn)行直線擬合與曲線擬合。由Matlab軟件求解得到： 1) 直線擬合方程

y?0.8096x?26.9620(23)

所以預(yù)測第五屆與會人數(shù)為639人。 2) 曲線擬合方程

y??0.0001x2?0.9345x?2.2607(24)

所以預(yù)測第五屆與會人數(shù)為647人。

為了比較這兩種擬合的優(yōu)劣，利用Matlab軟件進(jìn)行曲線回歸。線性回歸結(jié)果如圖1，圖2所示：

圖1

圖2

二次曲線回歸結(jié)果如圖3，圖4所示：

圖3

圖4

由此可知，對于線性回歸方程，R?0.9992；對于二次曲線回歸方程，

R?0.9993。比較兩者R值，可以確定二次曲線回歸較為理想，因此，本文考慮

二次曲線回歸模型進(jìn)行研究。所以我們預(yù)測第五屆與會人數(shù)為639人。

4.4.2確定住房安排

目標(biāo)函數(shù)：

minz??fi(25)

i?110

約束條件：

?10

??xij?aj(j?1,2,3)?i?1?10

??xij?aj(j?4,5,6)?i?1?6

??xij?bifi?j?1

10??10

s..t??xi1??xi4?248(26)

i?1?i?1

10?10

??xi5??xi2?152

i?1?i?1

10?10

??xi3??xi6?75

i?1?i?1

?xij?Aij???

運(yùn)用Lingo進(jìn)行求解程序及結(jié)果見附錄4。

根據(jù)Lingo結(jié)果，確定賓館選擇1、2、3、7號，在這4家賓館中，根據(jù)經(jīng)濟(jì)的原則，并考慮到代表回執(zhí)中的住房要求，將賓館房間進(jìn)行了安排，結(jié)果如表7所示：

表7住房的安排

4.4.3租借會議室的安排

由于事先無法預(yù)知哪些代表準(zhǔn)備參加哪個分組會議，我們假設(shè)每名代表參加每個分組會議的概率都為1/6，所以639名代表參加每個會議的人數(shù)約為總數(shù)的

1/6，每組約107人，為保證會議室人數(shù)足夠，我們選用人數(shù)大于等于110人的

會議室，可以使用的會議室有1號3間，記f1，f2，f3，2號3間，記f4，f5，

f6，3號2間，記f7，f8，7號3間，記f9，f10，f11。

目標(biāo)函數(shù)為：

min?1500f1?1200f2?1200f3?1000f4?1000f5?1500f6?1200f7?1000f8?800f9?800f10?1000f11

約束條件為：

?f1?f2?f3?f4?f5?f6?f7? f8?f9?f10?f11?6?

?200f1?150f2?150f3?130f4?130f5?180f6?200f7?150f8?140(f9?f10)?200f11?639

利用Lingo軟件求解，可得租借會議室時，選擇2號賓館130人間2個，3號賓館150人間1個，7號賓館140人間2個，200人間1個，每半天共花費(fèi)5600元。

4.4.4租用客車的安排

根據(jù)住房安排，先將人員如下歸納：

由于7號賓館的會議室最多，而且交通比較方便，所以，首先選擇7號賓館作為中心，保證7號賓館人足夠多，方便開會，在雙標(biāo)間都安排合住的代表，使人數(shù)達(dá)到上限163人；其次，不能出現(xiàn)空房，所以，需要保證預(yù)定的單人間都有代表入�。辉诖嘶A(chǔ)上，安排剩余的雙標(biāo)間可以代表合住，也可獨(dú)住，2號賓館的會議室有兩間，僅次于7號賓館，所以，在2號賓館也應(yīng)安排盡量多的代表，同時，考慮代表的滿意程度，兼顧價格的因素，各個賓館不同規(guī)格的房間人數(shù)安排如圖表8所示：

表8 各個賓館不同規(guī)格的房間安排的人數(shù)

租借客車需要根據(jù)每個賓館有多少人出行來決定，但由于事先不知道那些代表想去哪個會議，所以，對于，6個不同的分組會議，我們只能假設(shè)每個代表去參加每個會議的概率為1/6，所以，每個會議室的人數(shù)都大約有總?cè)藬?shù)的1/6，可以推斷：

1) 1號賓館所有人都要出行，共186，每個會議大約31人，去2號賓館62人，

去3號賓館31人，去7號賓館93人。 2) 2號賓館共167人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），

56人在本賓館開會，約112人出行，去3號賓館28人，去7號賓館84人。 3) 3號賓館共127人，每個會議大約22人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），

22人在本賓館開會，約110人出行，去2號賓館約44人，去7號賓館約66人。

4) 7號賓館共163人，每個會議大約28人（為保證每人都有車，小數(shù)進(jìn)一位），

84人在本賓館開會，約84人出行，去2號賓館56人，去3賓館28人。根據(jù)賓館的位置，代表的出行人數(shù)，路線，我們進(jìn)行了優(yōu)化分析：由于1,2號賓館的位置很近，而且去3號賓館經(jīng)過2號，所以，1號去2號賓館不安排客車；7號賓館代表去3號賓館的客車經(jīng)過2號賓館，所以7號到2號不再安排客車。具體車輛安排如表9所示：

綜上所述，可知共需要安排9輛33座客車，5輛45座客車，接送共兩趟，

（9?600?5?800）?2?18800元

花費(fèi)

5.模型的評價

優(yōu)點(diǎn)：

根據(jù)以往幾屆會議代表回執(zhí)和與會情況預(yù)測與會人數(shù)，建立線性擬合模型預(yù)測今年與會人數(shù)，得到了直線擬合和曲線擬合兩組方程，通過靈敏度分析得到了一個更加準(zhǔn)確的預(yù)測值，此模型可以推廣到化學(xué)實驗教學(xué)數(shù)據(jù)分析，送電線路航測的GPS高程擬合等問題的解決。

本文還運(yùn)用了線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型，通過目標(biāo)函數(shù)和約束條件的綜合實現(xiàn)優(yōu)化問題。此類模型可以解決人力資源合理分配以實現(xiàn)收益最大等問題。缺點(diǎn)：

沒有充分考慮代表的滿意程度，如果建立滿意度模型，反映出與會代表的滿意程度，則使方案更加具體合理。

參考文獻(xiàn)

[1] 百度文庫,線性擬合公式，線性擬合原理，http://wenku.baidu.com/link?url=rlkg0QNeBaCwRQhcpm4QVT4SteNmM-IyI0-JAMeKkoYTGkMm1M-xgq4F6AhP7fwNILguNzu6aTqkaANrago5vJU6Hc0apnmm7wpWJU3zItC，2015年8月11日。cxx

[2] 王西靜，會議籌備優(yōu)化模型探析，長治學(xué)院學(xué)報，第27卷，2010年10月。 [3]司守奎，孫璽菁,線性規(guī)劃，整數(shù)規(guī)劃，數(shù)學(xué)建模算法與應(yīng)用教材，國防工業(yè)出版社，2011年8月。

附錄

附錄1 問題重述中所涉及到的附表數(shù)據(jù)

說明：表頭第一行中的數(shù)字1、2、3分別指每天每間120~160元、161~200元、201~300元三種不同價格的房間。合住是指要求兩人合住一間。獨(dú)住是指可安排單人間，或一人單獨(dú)住一個雙人間。

附錄2數(shù)據(jù)的預(yù)處理

由于有些要求合住的人數(shù)為奇數(shù)，在保證代表的滿意度情況下，我們將合住人多的一位轉(zhuǎn)移到獨(dú)住的相同價位的房間中。

附錄3線性擬合預(yù)測實際與會人數(shù)的求解程序

直線擬合的Matlab程序及結(jié)果如下：

曲線擬合的Matlab程序及結(jié)果如下：

附錄4運(yùn)用Lingo求解住房安排的程序及結(jié)果

Lingo程序如下：

附錄5運(yùn)用Lingo求解租借會議室安排的程序及結(jié)果