《連接圖形中的規(guī)律》課堂實錄
【片斷一】
老師以火柴棒做實驗，一邊讓學生思考，一邊動畫演示：搭一個三角形要用幾根火柴棒？連著搭兩個三角形要用幾根火柴棒？從中引出“公共邊”概念。
師：……再搭出第三個三角形又用了幾根火柴棒？一共用了多少根？照這樣從左往右，一共擺出10個三角形一共需要多少根火柴棒？兩人合作，一人擺，一人記，把記錄單填寫完整。（表單包含三角形的個數(shù)、擺成的圖形、火柴棒的根數(shù)等項目，圖略）
學生操作，擺三角形，依次完成表格填寫，交流反饋。
師：觀察上表，你有什么發(fā)現(xiàn)？
生1：擺一個三角形要三根，接下來擺兩個三角形就是3＋2根。
生2：我發(fā)現(xiàn)每次擺了以后都是增加2根。
生3：都是單數(shù)。
生4：有幾個三角形就有幾個三根，然后再減去三角形的個數(shù)再減去一。
師：我們擺十個三角形用21根火柴棒，如果要擺100個、1000個這樣連接的三角形，你還愿意這樣一邊擺、一邊數(shù)嗎？那怎么辦？
生5：用圖形的數(shù)量減1，然后乘以2，再加3。
師：讓我們來驗證他的解法。以擺10個這樣的連接三角形為例，用了多少根火柴棒？
生：3×10－9＝21根。（板書）
師：你為什么先3×10？
生：先假設擺10個獨立的三角形。（師演示課件）
師：一共需要去掉重復的幾根火柴棒？公共邊的條數(shù)和三角形的個數(shù)有什么關系？還有不同的想法嗎？
生：3＋9×2＝21根（板書）。先算出擺一個三角形需要三根，接下來還要擺9個三角形，因為有一條公共邊，所以每個三角形只要2根。（師演示）
師：這種想法實際是先分類，把第一個三角形放邊上，第一個三角形和后面的9個三角形不一樣。分類思想在數(shù)學中經(jīng)常會用到。還有不同想法嗎？
生：2×10＋1。先把它想成每次都要加2根，然后擺10個就要擺10個2根，原來一個要3根，還要再加1根。
師：這種思想是找第一個三角形和后面9個三角形的共同點。剛才我們用不同的思路來研究解決這個問題，得到的結(jié)果都是一樣的。所以，我們要學會從不同的角度來分析問題�，F(xiàn)在，假如要搭N個三角形要多少根小棒？你會用含有字母的式子表示火柴棒的根數(shù)嗎？
生1：N×2＋1
生2：3N－（N－1）
生3：3＋（N－1）×2
師：這三種方法求出的結(jié)果相等嗎？你愿意用哪一種方法來算？
【片斷二】
師：聰明的小猴找來4根木棒，搭成一個正方形，把它固定在樹枝上，接著往下搭梯子，第二個正方形用了幾根木棒？第三個正方形呢？第四個呢？（課件演示，學生觀察。）像這樣用木棒搭連接的正方形是不是也像剛才擺連接的三角形一樣有規(guī)律呢？一個正方形用4根，兩個連接的正方形用幾根？三個用幾根？……擺10個這樣連接的正方形需要多少根？
�。ㄟ^程與上面環(huán)節(jié)類似，略）
【片斷三】
師：剛才我們用數(shù)形結(jié)合的方法來擺小棒，用列表的方法來整理，探究了連接的三角形和正方形中的規(guī)律。像這樣連接圖形中的規(guī)律有什么聯(lián)系嗎？
生1：三角形和正方形中都是只有一條公共邊。
生2：“1＋2N”中的“1”就是連接三角形中的`一條公共邊，“2”是表示第一個三角形之后每個三角形只需要兩條邊。
生3：“1＋3N”中的“1”就是連接正方形中的一條公共邊，“3”是表示第一個正方形之后每個正方形只需要三條邊。
師：大家的發(fā)現(xiàn)非常正確。同時把兩種連接圖形有機地聯(lián)系起來分析研究，找到它們中間的內(nèi)在聯(lián)系，這是一種非常有效的數(shù)學學習方法。如果需要連接正五邊形、正六邊形，你會用含有字母的式子表示其中的規(guī)律嗎？
生：正五邊形邊的條數(shù)是1＋4N，正六邊形邊的條數(shù)是1＋5N。
師：也就是1+（正多邊形邊數(shù)-1）×N。
【賞析】
數(shù)學建模是一種重要的數(shù)學思考方法，是運用數(shù)學的語言和方法，通過抽象、簡化，建立能近似刻畫并“解決”實際問題的一種強有力的數(shù)學手段。該環(huán)節(jié)的教學，從“探究發(fā)現(xiàn)”到“數(shù)學建�！�，有幾個明顯的特點：
一、組織有效探索。課始，段老師用學生習以為常的火柴棒搭三角形來做實驗，組織學生進行有效探索搭三角形的個數(shù)與用火柴棒的根數(shù)之間的聯(lián)系。在此學習過程中，教師借助于操作，有意識地引導學生從實際動手操作搭三角形，到通過觀察小猴用木棒搭連接的正方形的過程，由淺入深，循序漸進，引導學生從不同的角度尋找規(guī)律。通過學生的實物展示和形象直觀的課件演示，從簡單的一個三角形、一個正方形到10個、N個三角形、N個正方形，讓學生初步感悟連接圖形中的規(guī)律。
二、重視比較發(fā)現(xiàn)。操作是思維的基礎和源泉，是學生獲取新知的主要途徑之一。在小組合作學習過程中，教師注意在操作的同時，重點引導學生比較觀察。借助表格的填寫，交流自己的比較發(fā)現(xiàn)。在引導學生探究擺10個三角形需要多少根火柴棒的過程中，學生摸索出了多種方法，教師能抓住關鍵，從一般的解法尋求用含有字母表示的方法，幫助學生理解真正的含義，在前后兩次找規(guī)律的探究活動中，教師不僅進行了同一種連接圖形不同解法的比較，還進行了三角形與正方形連接圖形的方法的比較，在比較中發(fā)現(xiàn)，在發(fā)現(xiàn)中驗證規(guī)律，從而，從特殊規(guī)律的找尋到驗證再到發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，教師逐步發(fā)展學生的數(shù)學思考。
三、提供方法支撐。新課程強調(diào)：數(shù)學學習應該是一個思維活動，而不是一個程序操練的過程。在上述環(huán)節(jié)中，教師一方面重視學生的自主學習，自主發(fā)現(xiàn)，同時，提供了恰當?shù)姆椒ㄖ�。從操作活動中表格的設計，分類思想的引導，從簡單的三角形、正方形到研究復雜的用字母來表示圖形的個數(shù)，體會數(shù)形結(jié)合的基本方法和價值，體會列表整理解決問題的策略。在操作中所獲得的形象和表象及時推動著學生進行分析、綜合、比較、抽象、概括，從而引導學生體會不同連接圖形的聯(lián)系與綜合，不斷豐富學生對數(shù)學思想方法的體驗，積累對基本數(shù)學思想方法的認識，深刻理解連接圖形的本質(zhì)規(guī)律。
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