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多問一個“為什么”-數(shù)學教學不應忽視對數(shù)學基礎和數(shù)學哲學問題的探討
數(shù)學發(fā)端于古代人們計數(shù)與度量的實際需要。現(xiàn)代的許多數(shù)學理論盡管具有非常抽象的形式，但它同時也是現(xiàn)實世界空間形式和數(shù)量關系的深刻反映，因此可以廣泛地應用于自然科學、社會科學和技術的各個部門，對人類認識自然和改造自然，起著重要的作用。
在我國中小學的課程設置中，數(shù)學作為一門主課，被賦予大量的課時。在大學，不僅理工科的學生要學習高等數(shù)學，許多文科專業(yè)也開設了高等數(shù)學。這是數(shù)學重要性的體現(xiàn)。然而，在我們的數(shù)學教學中，過于注重按部就班地講述教科書上現(xiàn)有的數(shù)學定義和數(shù)學命題，介紹各種計算題和證明題的解題方法，讓學生做大量的習題，卻忽視了與數(shù)學有關的一些根本性問題的說明和討論，特別是數(shù)學基礎和數(shù)學哲學問題。
前不久，中央電視臺10套的一檔節(jié)目中，嘉賓提出這樣一個問題：“有理數(shù)多還是無理數(shù)多？”有三個答案供在場的學生選擇：（A）有理數(shù)多，（B）無理數(shù)多，（C）一樣多。結果，絕大多數(shù)學生選擇了B，嘉賓表示了肯定。
這一問題看似淺顯，但要真正理解它提出的知識背景，并作較深入的闡述，并不那么容易，因為它與某些數(shù)學概念、數(shù)學理論賴以成立的基本前提有關，涉及了數(shù)學基礎和數(shù)學哲學研究中的一個重要問題——“無限觀”，即應該如何看待數(shù)學中出現(xiàn)的無限多的對象（如無限多的自然數(shù)、有理數(shù)、無理數(shù)）的問題。
在數(shù)學的研究中，有兩種“無限觀”。當學生們作“無理數(shù)多”的解答時，是根據(jù)學過的集合論的有關知識來回答的。集合論是一百多年前德國數(shù)學家康托爾創(chuàng)立的，這種理論建立在一種“無限觀”——“實無限”的基礎上。所謂“實無限”，即把“無限”作為一個已經(jīng)完成了的觀念實體來看待。在集合論中用N＝｛（n：n是自然數(shù)｝表示全體自然數(shù)的集合就是如此。
然而，集合論之前的幾千年的數(shù)學發(fā)展史中，數(shù)學研究中占主導地位的卻是古希臘哲學家亞里士多德所主張的另一種無限觀——“潛無限”的觀念，即把“無限”看作一個不斷發(fā)展著的、又永遠無法完成的過程來看待。把自然數(shù)看成一個不斷延伸的無窮無盡的序列1，2，3，…，n，…，就是如此。如果采用“潛無限”的觀念，“有理數(shù)多，還是無理數(shù)多？”這一問題就沒有什么意義，因為有理數(shù)和無理數(shù)都為數(shù)無窮，而“無限”是一個不斷發(fā)展著的、又永遠無法完成的過程，不能加以比較。正如伽利略所說：“‘等于’、‘大于’和‘小于’諸性質不能用于無限，而只能用于有限的數(shù)量。”
還需要說明的是，盡管現(xiàn)在集合論已進入中學和大學的數(shù)學教科書，成為全部經(jīng)典數(shù)學的理論基礎，但是它并非無懈可擊。人們已先后發(fā)現(xiàn)了一系列的“集合論悖論”，這說明集合論隱含著邏輯矛盾，使用集合論和采用“實無限”觀念來研究數(shù)學，可能會出問題。這也從一個側面說明了數(shù)學理論只具有相對的真理性。
學習數(shù)學理論如此，對數(shù)學方法同樣要多思考。初中學習平面幾何，學生就接觸了公理方法，這種常用的數(shù)學方法源于古希臘數(shù)學家歐幾里德的《幾何原本》，它具有嚴格、高度概括的特點。然而，為什么要選擇這些公理而不選另一些呢？公理方法有沒有什么限度呢？正是對《幾何原本》中公
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