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圓的標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)與思考論文
[摘 要] 在“圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”的教學(xué)中，基于對(duì)教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法的分析，從教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)、標(biāo)準(zhǔn)方程構(gòu)建、變式訓(xùn)練與實(shí)際問(wèn)題的解決等角度，進(jìn)行了詳細(xì)的教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施。 基于本內(nèi)容的教學(xué)進(jìn)行反思，發(fā)現(xiàn)對(duì)教學(xué)內(nèi)容的定位，在學(xué)生實(shí)際與評(píng)價(jià)要求之間尋找平衡點(diǎn)，以及培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識(shí)，都是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中需要重點(diǎn)關(guān)注的事項(xiàng)。
[關(guān)鍵詞 “圓的標(biāo)準(zhǔn)方程”是人教版高中數(shù)學(xué)（必修）教材第二冊(cè)的內(nèi)容。 作為數(shù)學(xué)中的經(jīng)典內(nèi)容，學(xué)生在此前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中積累了大量的關(guān)于圓的經(jīng)驗(yàn)與知識(shí)。 到了高中階段，從方程的角度來(lái)描述圓，對(duì)學(xué)生的思維方式提出了新的挑戰(zhàn)，從而本內(nèi)容的教學(xué)也就成為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中具有一定標(biāo)桿意義的事件。 在日常教學(xué)中，筆者對(duì)本課的教學(xué)進(jìn)行了深入的思考，現(xiàn)結(jié)合本課的教學(xué)設(shè)計(jì)，談?wù)劰P者對(duì)本課教學(xué)的研究與感受。
[教學(xué)內(nèi)容分析
圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在解析幾何內(nèi)容中具有重要的基礎(chǔ)作用，同時(shí)具有承上啟下的地位。 從知識(shí)構(gòu)建的角度來(lái)看，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是其他圖形方程學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是二次曲線學(xué)習(xí)的起始知識(shí)，直線與圓的關(guān)系、圓錐曲線等知識(shí)，均需在此基礎(chǔ)上進(jìn)行構(gòu)建。 從學(xué)生學(xué)習(xí)的角度來(lái)看，由于圓是學(xué)生研究最多的基本圖形之一，因此學(xué)生對(duì)圓有著豐富的感性認(rèn)識(shí)，也有著豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)作為支撐，也因此對(duì)其標(biāo)準(zhǔn)方程的學(xué)習(xí)，可以打開(kāi)學(xué)生學(xué)習(xí)其他曲線方程的思路，可以為后面知識(shí)的學(xué)習(xí)形成一種較高思維水平的定式作用（思維定式并不總是消極的，很多時(shí)候?qū)W生的學(xué)習(xí)之所以沒(méi)有障礙，正是一定水平上的思維定式作用的結(jié)果）。 從這個(gè)角度講，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一節(jié)課的教學(xué)，需要花大氣力進(jìn)行基礎(chǔ)作用的奠基。 但是需要看到的是，解析幾何中對(duì)圓的研究，畢竟不同于學(xué)生此前的學(xué)習(xí)方式，尤其是通過(guò)方程來(lái)描述像圓這樣的曲線，學(xué)生在思維方式上就有困難，這種困難往往會(huì)影響學(xué)生構(gòu)建對(duì)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程認(rèn)識(shí)時(shí)的學(xué)習(xí)心理，因此在教學(xué)設(shè)計(jì)中需要重視這一因素。 從問(wèn)題解決（數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用）的角度來(lái)看，本課需要結(jié)合高考
要求，在讓學(xué)生運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題及實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，形成一種良好的直覺(jué)，即對(duì)于一些基本的與之相關(guān)的問(wèn)題，要能夠在第一時(shí)間反映出其與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有關(guān)，需以之為工具實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解。 如上面所分析的一樣，這種基礎(chǔ)性的知識(shí)，只有成為良好的直覺(jué)，才能成為有效的解題工具。
結(jié)合基本的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，在教學(xué)目標(biāo)的確定上，筆者以為本課的內(nèi)容可以在協(xié)調(diào)好三維目標(biāo)的基礎(chǔ)上具體制定這樣的教學(xué)目標(biāo)：
①掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程，并能夠根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程反映出圓心坐標(biāo)與半徑；
�、谠趫A的標(biāo)準(zhǔn)方程建立的過(guò)程中形成數(shù)形結(jié)合思想，深刻體驗(yàn)用代數(shù)方法解決幾何問(wèn)題的過(guò)程；
�、墼谟脠A的標(biāo)準(zhǔn)方程描述圓的過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美與對(duì)應(yīng)美。 關(guān)于這樣的目標(biāo)界定，筆者重點(diǎn)解釋一下第三個(gè)目標(biāo)：從傳統(tǒng)的角度看，情感態(tài)度價(jià)值觀這一目標(biāo)往往容易虛化，在實(shí)際教學(xué)中不容易得到真正的關(guān)注。 在筆者看來(lái)，就圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一教學(xué)而言，更實(shí)在的是讓學(xué)生在對(duì)圓的圖形的認(rèn)識(shí)中發(fā)現(xiàn)其是最簡(jiǎn)潔的基本圖形之一，而描述其的標(biāo)準(zhǔn)方程亦具有對(duì)稱(chēng)、簡(jiǎn)潔的特征，認(rèn)識(shí)到這兩點(diǎn)即可，不需要追求過(guò)多、過(guò)空的所謂情感態(tài)度。
[教學(xué)方法分析
教學(xué)有法，教無(wú)定法，貴在得法！對(duì)于圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這一內(nèi)容而言，采用什幺樣的教學(xué)方法，是教學(xué)中需要高度重視的問(wèn)題。 結(jié)合筆者此前的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)注意學(xué)生主體作用的發(fā)揮，筆者在此內(nèi)容的教學(xué)中確定這樣的兩個(gè)教學(xué)方法：一是問(wèn)題驅(qū)動(dòng)（其中包括數(shù)學(xué)探究等環(huán)節(jié)），促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模；二是通過(guò)任務(wù)驅(qū)動(dòng)的方法，促進(jìn)學(xué)生應(yīng)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的知識(shí)解決問(wèn)題。
對(duì)于這兩個(gè)教學(xué)方法的確定，筆者的思考是這樣的：一方面，本知識(shí)的基礎(chǔ)性作用，決定了其在學(xué)生的考試評(píng)價(jià)中需要發(fā)揮重要作用，因此首先必須考慮到考試的需要，因而用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)可以讓學(xué)生不斷地突破最近發(fā)展區(qū)，從而形成一種較好的數(shù)學(xué)思維方式與學(xué)習(xí)習(xí)慣。 教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明，很多學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中之所以感覺(jué)困難，就是因?yàn)闆](méi)有一種良好的數(shù)學(xué)意識(shí)與思維習(xí)慣，而像圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這樣的基礎(chǔ)性知識(shí)，必須成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)與思維習(xí)慣的良好載體。 另一方面，任務(wù)驅(qū)動(dòng)可以在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的基礎(chǔ)上更好地發(fā)揮學(xué)生的內(nèi)驅(qū)力，從而讓圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的運(yùn)用能夠真正成為學(xué)生的良好直覺(jué)，而這一思路其實(shí)也呼應(yīng)了第一點(diǎn)對(duì)教學(xué)目標(biāo)的闡述。
需要注意的是，教學(xué)方法的確定原則上只是宏觀角度對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程預(yù)設(shè)基礎(chǔ)上的，對(duì)教學(xué)行為判斷的產(chǎn)物。 在具體的教學(xué)過(guò)程中還需要根據(jù)細(xì)節(jié)進(jìn)行適當(dāng)?shù)卣{(diào)整，如果將教學(xué)方法（包括教學(xué)過(guò)程）模式化，那這樣的教學(xué)方法確定是沒(méi)有意義的。
[教學(xué)過(guò)程闡述
在圓的標(biāo)準(zhǔn)方法的教學(xué)設(shè)計(jì)中，筆者確定了這樣的三個(gè)步驟，現(xiàn)結(jié)合教學(xué)過(guò)程具體說(shuō)明：
第一步，創(chuàng)設(shè)情境，激活思維。 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在生活中的應(yīng)用看起來(lái)并不那幺直接，因此情境的創(chuàng)設(shè)需要一定程度的思考。 筆者所選擇的是汽車(chē)過(guò)隧道的例子，將隧道的截面抽象成一個(gè)半圓，給出其半徑，然后提出問(wèn)題：已知某車(chē)的寬度與高度，其能否進(jìn)入這個(gè)隧道？這是一個(gè)被多人選用過(guò)的情境，其好就好在能夠?qū)A的標(biāo)準(zhǔn)方程巧妙地蘊(yùn)含其中，同時(shí)學(xué)生又可以在原有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上解決這個(gè)問(wèn)題。
第二步，問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，展開(kāi)探究。 在上述問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)之下，引導(dǎo)學(xué)生的思維對(duì)情境進(jìn)行加工，并尋找問(wèn)題解決的思路。 在教學(xué)過(guò)程中，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生起初的思路是原有知識(shí)體系的產(chǎn)物，比如說(shuō)有學(xué)生試圖通過(guò)勾股定理，去算出汽車(chē)對(duì)角線的距離并與圓的半徑進(jìn)行對(duì)比。 這是一種思路，也能夠體現(xiàn)學(xué)生的已有能力水平，從最近發(fā)展區(qū)的觀點(diǎn)來(lái)看，教學(xué)中教師要做的就是從這個(gè)水平出發(fā)，讓學(xué)生的思維向圓的標(biāo)準(zhǔn)方程發(fā)展。 于是，數(shù)學(xué)探究的過(guò)程也就展開(kāi)了。 此時(shí)，教師可以拋出一個(gè)問(wèn)題：能否以坐標(biāo)為工具，來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題？在問(wèn)題驅(qū)動(dòng)下的探究過(guò)程中，學(xué)生的學(xué)習(xí)思路大致相同，他們首先要在坐標(biāo)上建立起隧道與汽車(chē)兩個(gè)對(duì)象（當(dāng)然這是數(shù)學(xué)抽象的產(chǎn)物），然后將相關(guān)的數(shù)據(jù)記錄其中，于是隧道被抽象為圓心在原點(diǎn)、具有一定半徑的半圓，而汽車(chē)被抽象為一個(gè)已知長(zhǎng)和寬的矩形。 于是實(shí)際問(wèn)題也就成為一個(gè)純粹的數(shù)學(xué)問(wèn)題，最終學(xué)生要比較的也就是直角坐標(biāo)上圓的半徑與矩形對(duì)角線的長(zhǎng)度的關(guān)系，而其中的難點(diǎn)又是圓的半徑的確定。 于是學(xué)生的研究重點(diǎn)就轉(zhuǎn)移到了坐標(biāo)系的圓上來(lái)，這個(gè)時(shí)候教師進(jìn)一步提出問(wèn)題：如何在直角坐標(biāo)系上描述一個(gè)圓呢？有此問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，其后建立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與傳統(tǒng)教學(xué)就接軌了，考慮到同行們相對(duì)熟稔，此不贅述。
第三步，變式訓(xùn)練，任務(wù)驅(qū)動(dòng)。 這一步有兩個(gè)任務(wù)，一是向?qū)W生提出問(wèn)題，如果圓心不在原點(diǎn)處，那圓的標(biāo)準(zhǔn)方程如何建立？二是呼應(yīng)此前的實(shí)際問(wèn)題，并給出新的實(shí)際問(wèn)題，以讓學(xué)生具有一個(gè)運(yùn)用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程去解決不同難度實(shí)際問(wèn)題的機(jī)會(huì)，從而形成良好的解題直覺(jué)。
在上述三個(gè)步驟中，關(guān)鍵在于學(xué)生思路的打開(kāi)，也就是教學(xué)情境的創(chuàng)設(shè)與其的引導(dǎo)。 多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)讓筆者意識(shí)到，很多時(shí)候?qū)W生感覺(jué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，并不完全是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)本身所謂的“難”上，而是學(xué)生入不了“境”，因而也就找不到“門(mén)”。 因此，創(chuàng)設(shè)情境非常重要，打開(kāi)學(xué)生的思路亦很重要，有此兩個(gè)環(huán)節(jié)作為基礎(chǔ)，學(xué)生的思路一旦打開(kāi)，后面的數(shù)學(xué)概念建構(gòu)有時(shí)反而比較簡(jiǎn)單，本節(jié)課的教學(xué)就是如此。
[教學(xué)及其反思
反思本課的教學(xué)，尤其是將此次教學(xué)的整體過(guò)程與此前進(jìn)行比較時(shí)，還是有所發(fā)現(xiàn)：
其一，數(shù)學(xué)內(nèi)容的定位問(wèn)題。 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程在曲線方程中起著什幺樣的作用？這樣的問(wèn)題此前沒(méi)有仔細(xì)思考過(guò)，而一旦思考之后，就發(fā)現(xiàn)其在知識(shí)構(gòu)建、能力形成乃至于數(shù)學(xué)意識(shí)與學(xué)習(xí)習(xí)慣形成方面都具有重要的作用，這種作用要想真正發(fā)揮出來(lái)，只能依靠好的教學(xué)設(shè)計(jì)。
其二，教學(xué)設(shè)計(jì)要在學(xué)生的基礎(chǔ)與考試要求之間做好平衡，過(guò)于偏向前者，則滿(mǎn)足不了考試要求；過(guò)于偏向后者，則學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程就是空中樓閣。 尋找這個(gè)平衡點(diǎn)，往往成為評(píng)價(jià)教師教學(xué)能力的關(guān)鍵，同時(shí)也是教師自身專(zhuān)業(yè)成長(zhǎng)的著力點(diǎn)。
其三，數(shù)學(xué)意識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要方向。 筆者在圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)中，注意比較過(guò)數(shù)學(xué)成績(jī)好與差學(xué)生的表現(xiàn)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)得好的學(xué)生，他們往往有一個(gè)極好的直覺(jué)，能夠迅速地判斷出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的下一步方向，而學(xué)困生就缺乏這樣的意識(shí)。 有此觀察之后，筆者還注意研究過(guò)數(shù)學(xué)進(jìn)步較快的學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)意識(shí)也挺好，這就使筆者確信數(shù)學(xué)意識(shí)的培養(yǎng)很重要。
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