考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容與題型總結(jié)

時(shí)間:2023-04-30 01:38:00 考研數(shù)學(xué) 我要投稿

考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容與題型總結(jié)

考研階段大致有依次下面幾個(gè)階段:基礎(chǔ)階段、強(qiáng)化階段、沖刺階段,前面每個(gè)階段如果走的更好更快,那么將為以后的階段提供足夠空間,反之可能打亂復(fù)習(xí)進(jìn)程。越是到后面,考生越是要堅(jiān)持兩條腿走路,即知識(shí)點(diǎn)總結(jié)和題型總結(jié)。也就是要把書由厚讀到薄,把知識(shí)轉(zhuǎn)化成自己的東西,這樣才會(huì)越學(xué)越輕松。線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位,必須予以高度重視。和高數(shù)與概率統(tǒng)計(jì)相比,由于線性代數(shù)的學(xué)科特點(diǎn),同學(xué)們更應(yīng)該要注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的總結(jié)。線性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較突出,以計(jì)算題為主,證明題為輔,因此,同學(xué)們必須注重計(jì)算能力。線性代數(shù)在數(shù)學(xué)一、二、三中均占22%,所以考生要想取得高分,學(xué)好線代也是必要的。下面,就將線代中重點(diǎn)內(nèi)容和典型題型做總結(jié),希望對(duì)同學(xué)們復(fù)習(xí)有幫助。

考研數(shù)學(xué) 線性代數(shù)重點(diǎn)內(nèi)容與題型總結(jié)

一、行列式

行列式在整張?jiān)嚲碇兴急壤皇呛艽,一般以填空題、選擇題為主,它是必考內(nèi)容,不只是考察行列式的概念、性質(zhì)、運(yùn)算,與行列式有關(guān)的考題也不少,例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關(guān)性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會(huì)涉及到行列式。如果試卷中沒有獨(dú)立的行列式的試題,必然會(huì)在其他章、節(jié)的試題中得以體現(xiàn)。所以要熟練掌握行列式常用的計(jì)算方法。

1重點(diǎn)內(nèi)容:行列式計(jì)算

(1)降階法

這是計(jì)算行列式的主要方法,即用展開定理將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變形,化簡(jiǎn)之后再展開。

(2)特殊的行列式

有三角行列式、范德蒙行列式、行和或列和相等的行列式、三線型行列式、爪型行列式等等,必須熟練掌握相應(yīng)的計(jì)算方法。

2常見題型

(1)數(shù)字型行列式的計(jì)算

(2)抽象行列式的計(jì)算

(3)含參數(shù)的行列式的計(jì)算。

二、矩陣

矩陣是線性代數(shù)的核心,是后續(xù)各章的基礎(chǔ)。矩陣的概念、運(yùn)算及理論貫穿線性代數(shù)的始終。這部分考點(diǎn)較多。涉及伴隨矩陣的定義、性質(zhì)、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。有些性質(zhì)得證明必須能自己推導(dǎo)。這幾年還經(jīng)常出現(xiàn)有關(guān)初等變換與初等矩陣的命題。

1重點(diǎn)內(nèi)容:

(1)矩陣的運(yùn)算

(2)伴隨矩陣

(3)可逆矩陣

(4)初等變換和初等矩陣

(5)矩陣的秩

2常見題型:

(1)計(jì)算方陣的冪

(2)與伴隨矩陣相關(guān)聯(lián)的命題

(3)有關(guān)初等變換的命題

(4)有關(guān)逆矩陣的計(jì)算與證明

矩陣可逆有哪幾種等價(jià)關(guān)系?如何判別?都必須熟練掌握。

(5)解矩陣方程。

三、向量

向量部分既是重點(diǎn)又是難點(diǎn),由于n維向量的抽象性及在邏輯推理上的較高要求,導(dǎo)致考生在學(xué)習(xí)理解上的困難?忌辽僖崂砬宄R(shí)點(diǎn)之間的關(guān)系,最好能獨(dú)立證明相關(guān)結(jié)論。

1重點(diǎn)內(nèi)容:

(1)向量的線性表示

線性表示經(jīng)常和方程組結(jié)合考察,特點(diǎn),表面問一個(gè)向量可否由一組向量線性表示,其實(shí)本質(zhì)需要轉(zhuǎn)換成方程組的內(nèi)容來(lái)解決,經(jīng)常結(jié)合出大題。

(2)向量組的線性相關(guān)性

向量組的線性相關(guān)性是線性代數(shù)的重點(diǎn),也是考研的重點(diǎn)。同學(xué)們一定要吃透向量組線性相關(guān)性的概念,熟練掌握有關(guān)性質(zhì)及判定法并能靈活應(yīng)用,還應(yīng)與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯(lián)系,從各個(gè)側(cè)面加強(qiáng)對(duì)線性相關(guān)性的理解。

(3) 向量組等價(jià)

要注意向量組等價(jià)與矩陣等價(jià)的區(qū)別。

(4)向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩

(5)向量空間

2常見題型:

(1)判定向量組的線性相關(guān)性

(2)向量組線性相關(guān)性的證明

(3)判定一個(gè)向量能否由一向量組線性表出

(4)向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組的求法

(5)有關(guān)秩的證明

(6)有關(guān)矩陣與向量組等價(jià)的命題

(7)與向量空間有關(guān)的命題。

四、線性方程組

往年考題中,方程組出現(xiàn)的頻率較高,幾乎每年都有考題,也是線性代數(shù)部分考查的重點(diǎn)內(nèi)容。但也不會(huì)簡(jiǎn)單到僅考方程組的計(jì)算,還需靈活運(yùn)用,比如2013年的線性代數(shù)第一道解答題,粗看不是解方程組,如果你光會(huì)熟練計(jì)算方程組而不知如何把問題歸結(jié)為解線性方程組,那么你會(huì)有英雄無(wú)用武之地的感嘆,就像一個(gè)人苦練屠龍本領(lǐng),結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)無(wú)龍可屠。

1重點(diǎn)內(nèi)容

(1)齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結(jié)構(gòu)

(2)齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求解與證明

(3)齊次(非齊次)線性方程組的求解(含對(duì)參數(shù)取值的討論)。

2常見題型

(1)線性方程組的求解

(2)方程組解向量的判別及解的性質(zhì)

(3)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系

(4)非齊次線性方程組的通解結(jié)構(gòu)

(5)兩個(gè)方程組的公共解、同解問題。

五、特征值與特征向量

特征值、特征向量是線性代數(shù)的重點(diǎn)內(nèi)容,是考研的重點(diǎn)之一,題多分值大。

1重點(diǎn)內(nèi)容

(1)特征值和特征向量的概念及計(jì)算

(2)方陣的相似對(duì)角化

(3)實(shí)對(duì)稱矩陣的正交相似對(duì)角化。

2常見題型

(1)數(shù)值矩陣的特征值和特征向量的求法

(2)抽象矩陣特征值和特征向量的求法

(3)判定矩陣的相似對(duì)角化

(4)由特征值或特征向量反求A

(5)有關(guān)實(shí)對(duì)稱矩陣的問題。

六、二次型

由于二次型與它的實(shí)對(duì)稱矩陣式一一對(duì)應(yīng)的,所以二次型的很多問題都可以轉(zhuǎn)化為它的實(shí)對(duì)稱矩陣的問題,可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個(gè)基礎(chǔ)。

1重點(diǎn)內(nèi)容:

(1)掌握二次型及其矩陣表示,了解二次型的秩和標(biāo)準(zhǔn)形等概念;

(2)了解二次型的規(guī)范形和慣性定理;

(3)掌握用正交變換并會(huì)用配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;

(4)理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。

2常見題型

(1)二次型表成矩陣形式

(2)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

(3)二次型正定性的判別。

同學(xué)們可以對(duì)照以上內(nèi)容和題型,多問問自己是否已熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)題型的解答。應(yīng)該說考研數(shù)學(xué)最簡(jiǎn)單的部分就是線性代數(shù),其計(jì)算都是初等的,小學(xué)生都會(huì),但這部分的難點(diǎn)就在于概念非常多而且相互聯(lián)系,線代貫穿的主線就是求方程組的解,只要將方程組的解的概念和一般方法理解透徹,再回過頭看前面的內(nèi)容就非常簡(jiǎn)單。同時(shí)從考試內(nèi)容來(lái)看,考的內(nèi)容基本類似,可以說是最死的部分,這幾年出的考試題實(shí)際上就是以前考題的翻版,仔細(xì)研究一下以前考題對(duì)大家是最有好處的。

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