數(shù)學(xué)教案－解直角三形應(yīng)用舉例
1．知識(shí)結(jié)構(gòu)：
2．重點(diǎn)和難點(diǎn)分析
重點(diǎn)和難點(diǎn)：要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題.
3．教法建議
本節(jié)知識(shí)與實(shí)際聯(lián)系密切，這些知識(shí)可以直接用來解決一些實(shí)際問題，這在幾何的許多章節(jié)中是做不到的，所以要充分發(fā)揮這一特點(diǎn)，通過教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，解決實(shí)際問題的能力．要解決實(shí)際問題，首先要能夠把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決這些問題，為了使學(xué)生能夠處理一些簡(jiǎn)單問題，教材中配備一些比較典型的例題，這些例題的教學(xué)，要注意以下幾個(gè)問題：
1．幫助學(xué)生弄清實(shí)際問題的意義．由于學(xué)生接觸實(shí)際較少，實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)不足，許多實(shí)際問題的意義不清楚，許多術(shù)語不熟悉，這些在教學(xué)中要向?qū)W生說明．例如測(cè)量中的仰角、俯角、視線、鉛垂線等等，零件圖，特別是剖面圖的意義，航行中的方位角等．學(xué)生懂得了這些常識(shí)，才能理解實(shí)際問題．
2．幫助學(xué)生畫出草圖．把實(shí)際問題抽象為幾何問題，關(guān)鍵是畫出草圖，通過圖形反映問題中的已知與未知，以及已知和未知量之間的關(guān)系．這里要解決好兩個(gè)問題：
(1)實(shí)際問題基本上是空間三維的問題，要會(huì)把它轉(zhuǎn)化為平面問題，畫出平面圖形．例如飛機(jī)在空中俯看地面目標(biāo)，選取經(jīng)過飛機(jī)、地面目標(biāo)的垂直于地平面的平面(圖1)；機(jī)器零件大都畫出橫斷面、縱斷面(圖2)；在地面上測(cè)兩點(diǎn)距離，兩個(gè)方向夾角，可以畫平行地面的平面等．
(2)船在海上航行，在平面上標(biāo)出船的位置、燈塔或岸上某目標(biāo)的位置，這類問題難點(diǎn)在于確定基準(zhǔn)點(diǎn)．例如，說燈塔在船的什么方向上，這時(shí)船是基準(zhǔn)點(diǎn)，如果說船在岸邊某一點(diǎn)的什么方向上，這時(shí)岸邊的這一點(diǎn)是基準(zhǔn)點(diǎn)．有時(shí)因?yàn)榇诤叫兄杏^測(cè)燈塔，基準(zhǔn)點(diǎn)在轉(zhuǎn)移，這些都會(huì)給畫圖增加困難．
在第一冊(cè)里，介紹過空間里的平行、垂直關(guān)系，也介紹過方向角的概念，這些都可以作為學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，教學(xué)時(shí)可適當(dāng)復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生回憶．
3．幫助學(xué)生根據(jù)需要作出輔助線．畫出的草圖，不一定有直角三角形，為了用解直角三角形的方法解決這些問題，常常需要添加輔助線．在這些問題中，輔助線常常是垂線或者平行線，例如圖3中的幾個(gè)問題中，虛線就是所要添加的輔助線．
4．有了直角三角形，還要進(jìn)一步分析，由題目的條件可以知道直角三角形的哪些邊或角，題目要求的是哪些邊或角，這樣才可以用解直角三角形的方法解決這些實(shí)際問題．
一、教學(xué)目標(biāo)
1．使學(xué)生了解仰角、俯角的概念，能根據(jù)直角三角形的知識(shí)解決實(shí)際問題，會(huì)把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決；
2．通過本節(jié)的教學(xué)，進(jìn)一步把形和數(shù)結(jié)合起來，提高學(xué)生分析問題、解決實(shí)際問題的能力；
3．通過本節(jié)的教學(xué)，向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn)，培養(yǎng)他們用數(shù)學(xué)的意識(shí).
二、重點(diǎn)·難點(diǎn)·疑點(diǎn)及解決辦法
1． 重點(diǎn)：要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題.
2．難點(diǎn)：要求學(xué)生善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，歸結(jié)為直角三角形中元素之間的關(guān)系，從而解決問題.
3．疑點(diǎn)：練習(xí)中水位為＋2.63這一條件學(xué)生可能不理解，教師最好用實(shí)際教具加以說明.
4．解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)實(shí)際問題中的概念，建立數(shù)學(xué)模型，從而重難點(diǎn)，以教具演示解決疑點(diǎn).
三、教學(xué)過程
1．仰角、俯角
當(dāng)我們進(jìn)行測(cè)量時(shí)，在視線與水平線所成的角中，視線在
水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角．
教學(xué)時(shí)，可以讓學(xué)生仰視燈或俯視桌面以體會(huì)仰角與俯角的意義．
2．例1
如圖，某飛機(jī)于空中A處探測(cè)到目標(biāo)C，此時(shí)飛行高度米，從飛機(jī)上看地平面控制點(diǎn)B的俯角，求飛機(jī)A到控制點(diǎn)B距離（精確到1米）．
解決此問題的關(guān)鍵是在于把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用解直角三角報(bào)知識(shí)來解決，在此之
前，學(xué)生曾經(jīng)接觸到通過把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題后，用數(shù)學(xué)方法來解決問題的方法，但
不太熟練．因此，解決此題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化實(shí)際問題為數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化過程中著重語學(xué)生畫幾
何圖形，并說出題目中每句話對(duì)應(yīng)圖中哪個(gè)角或邊（包括已知什么和求什么），會(huì)利用平行線的內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)由已知的俯角得出中的，進(jìn)而利用解直角三角形的知識(shí)就可以解此題了．
解：在中,
∴ （米）．
答：飛機(jī)A到控制點(diǎn)B的距離約為4221米．
［例1］小結(jié)：本章引言中的例子和例1正好屬于應(yīng)用同一關(guān)系式
來解決的兩個(gè)實(shí)際問題即已知和斜邊，求的對(duì)邊；以及已知和對(duì)邊，求斜邊．
3．鞏固練習(xí) P．25．
如圖，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測(cè)得其俯角．已知觀察所A的標(biāo)高（當(dāng)水位為0m時(shí)的高度）為43．74m，當(dāng)時(shí)水位為＋2．63m，求觀察所A到船只B的水平距離BC（精確到1m）
為了鞏固例1，加深學(xué)生對(duì)仰角、俯角的了解，配備了練習(xí)．
由于學(xué)生只接觸了一道實(shí)際應(yīng)用題，對(duì)其還不熟悉，不會(huì)將其轉(zhuǎn)化
為數(shù)學(xué)問題，因此教師在學(xué)生充分地思考后，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生分析：
1．誰能將實(shí)物圖形抽象為幾何圖形？請(qǐng)一名同學(xué)上黑板畫出來．
2．請(qǐng)學(xué)生結(jié)合圖說出已知條件和所求各是什么？
答：已知，求AB．
這樣，學(xué)生運(yùn)用已有的解直角三角形的知識(shí)完全可以解答．
對(duì)于程度較高的學(xué)生，教師還可以將此題變式，當(dāng)船繼續(xù)行駛到D時(shí)，測(cè)得俯角，當(dāng)時(shí)水位為－1.15m，求觀察所A到船只B的水平距離（精確到1m），請(qǐng)學(xué)生獨(dú)立完成.
【例2】 如圖所示，已知A、B兩點(diǎn)間的距離是160米，從A點(diǎn)看B點(diǎn)的仰角是11°，AC長(zhǎng)為1.5米，求BD的高及水平距離CD.
此題在例1的基礎(chǔ)上，又加深了一步，須由A作一條平等于CD的直線交BD于E，構(gòu)造出，然后進(jìn)一步求出AE、BE，進(jìn)而求出BD與CD.
設(shè)置此題，既使成績(jī)較好的學(xué)生有足夠的訓(xùn)練，同時(shí)對(duì)較差學(xué)生又是鞏固，達(dá)到分層次教學(xué)的目的.
解：過A作，于是，
在中，
∴ （米）.
.
∴ （米）.
∴ （米）.
（米）.
答：BD的高及水平距離CD分別是32.03米，157.1米.
練習(xí)：為測(cè)量松樹AB的高度，一個(gè)人站在距松樹15米的E處，測(cè)得仰角，已知人的高度為1.72米，求樹高（精確到0.01米）.
要求學(xué)生根據(jù)題意能畫圖，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用解直角三角形的知識(shí)來解決它.
探究活動(dòng)
一、望海島
如圖, 要測(cè)量海島高度,立兩根高度都是3丈的桿,兩桿相距1000步,使前桿、后桿、海島排成一直線。從前桿往回走123步，腳、前桿頂、島頂共線。從后桿往回走127步，腳、后桿、島頂共線。問島高和島離前桿分別為多少？(在古代，1里=300步，1步=6尺=0.6丈)
答案: 4里55步;102里150步.
二、望松
如下圖，求出三頂松的高度.
答案: 12丈2尺8寸.
數(shù)學(xué)教案－解直角三形應(yīng)用舉例