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冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)·對(duì)數(shù)及其運(yùn)算法則·教案
冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)·對(duì)數(shù)及其運(yùn)算法則·教案 教學(xué)目標(biāo) 1．理解并記憶對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)與指數(shù)的互化，對(duì)數(shù)恒等式及對(duì)數(shù)的性質(zhì)． 2．理解并掌握對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的內(nèi)容及推導(dǎo)過程． 3．熟練運(yùn)用對(duì)數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)運(yùn)算法則解題． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)是對(duì)數(shù)定義、對(duì)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則．難點(diǎn)是對(duì)數(shù)定義中涉及較多的難以記憶的名稱，以及運(yùn)算法則的推導(dǎo)． 教學(xué)過程設(shè)計(jì) 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，求20年后國民生產(chǎn)總值是原來的多少倍？ 生：設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，則20年后國民生產(chǎn)總值y=（1+7.2％）20=1.07220，所以20年后國民生產(chǎn)總值是原來的1.07220倍． 師：這是個(gè)實(shí)際應(yīng)用問題，我們把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中知道底數(shù)和指數(shù)，求冪值的問題．也就是上面學(xué)習(xí)的指數(shù)問題． 師：（板書）已知國民生產(chǎn)總值每年平均增長率為7.2％，問經(jīng)過多年年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍？ 師：（分析）仿照上例，設(shè)原來國民生產(chǎn)總值為1，需經(jīng)x年后國民生產(chǎn)總值是原來的4倍．列方程 1.072x=4． 我們把這個(gè)應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為知道底數(shù)和冪值，求指數(shù)的問題，這是上述問題的逆問題，即本節(jié)的對(duì)數(shù)問題． 師：（板書）一般地，如果a（a＞0，a≠1）的b次冪等于N，就是ab=N，那么數(shù)b就叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作 logaN=b， 其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù)，式子logaN叫做對(duì)數(shù)式． 師：請(qǐng)同學(xué)談?wù)剬?duì)對(duì)數(shù)這個(gè)定義的認(rèn)識(shí)． 生：對(duì)數(shù)式logaN實(shí)際上就是指數(shù)式中的指數(shù)b的一種新的記法． 生：對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算．是知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算． （此刻并不奢望學(xué)生能說出什么深刻認(rèn)識(shí)，只是給他們自己一個(gè)去思維認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)這個(gè)定義的機(jī)會(huì)．） 師：他們說得都非常好．實(shí)際上ab=N這個(gè)式子涉及到了三個(gè)量a，b，N，由方程的觀點(diǎn)可得“知二求一”．知道a，b可求N，即前面學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算；知道b（為自然數(shù)時(shí)），N可求a，即初中學(xué)過的開 記作logaN=b．因此，對(duì)數(shù)是一種新的運(yùn)算，一種知道底和冪值求指數(shù)的運(yùn)算．而每學(xué)一種新的運(yùn)算，首先要學(xué)習(xí)它的記法，對(duì)數(shù)運(yùn)算的記法為logaN，讀作：以a為底N的對(duì)數(shù)．請(qǐng)同學(xué)注意這種運(yùn)算的寫法和讀法． 師：實(shí)際上指數(shù)與對(duì)數(shù)只是數(shù)量間的同一關(guān)系的兩種不同形式．為了更深入認(rèn)識(shí)并記憶對(duì)數(shù)這個(gè)概念，請(qǐng)同學(xué)們填寫下列表格．（打出幻燈） 式子 名稱 a b N 指數(shù)式 對(duì)數(shù)式 ab=N logaN=b 練習(xí)1 把下列指數(shù)式寫成對(duì)數(shù)形式： 練習(xí)2 把下列對(duì)數(shù)形式寫成指數(shù)形式： 練習(xí)3 求下列各式的值： （兩名學(xué)生板演練習(xí)1，2題（過程略），一生板演練習(xí)三．） 因?yàn)?2=4，所以以2為底4的對(duì)數(shù)等于2． 因?yàn)?3=125，所以以5為底125的對(duì)數(shù)等于3． （注意糾正學(xué)生的錯(cuò)誤讀法和寫法．） 師：由定義，我們還應(yīng)注意到對(duì)數(shù)式logaN=b中字母的取值范圍是什么？ 生：a＞0且a≠1；b∈R；N∈R． 師：N∈R？（這是學(xué)生最易出錯(cuò)的地方，應(yīng)一開始讓學(xué)生牢牢記住真數(shù)大于零．） 生：由于在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，因而ab=N中N總是正數(shù)． 師：要特別強(qiáng)調(diào)的是：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)． 師：定義中為什么規(guī)定a＞0，a≠1？ （根據(jù)本班情況決定是否設(shè)置此問．） 生：因?yàn)槿鬭＜0，則N取某些值時(shí)，b可能不存在，如b=log（-2）8不存在；若a=0，則當(dāng)N不為0時(shí)，b不存在，如log02不存在；當(dāng)N為0時(shí)，b可以為任何正數(shù)，是不唯一的，即log00有無數(shù)個(gè)值；若a=1，N不為1時(shí)，b不存在，如log13不存在，N為1時(shí)，b可以為任何數(shù)，是不唯一的，即log11有無數(shù)多個(gè)值．因此，我們規(guī)定：a＞0，a≠1． （此回答能培養(yǎng)學(xué)生分類討論的數(shù)學(xué)思想．這個(gè)問題從ab=N出發(fā)回答較為簡單．） 師：下面我來介紹兩個(gè)在對(duì)數(shù)發(fā)展過程中有著重要意義的對(duì)數(shù)． 師：（板書）對(duì)數(shù)logaN（a＞0且a≠1）在底數(shù)a=10時(shí)，叫做常用對(duì)數(shù)，簡記lgN；底數(shù)a=e時(shí)，叫做自然對(duì)數(shù)，記作lnN，其中e是個(gè)無理數(shù)，即e≈2.718 28……． 練習(xí)4 計(jì)算下列對(duì)數(shù)： lg10000，lg0.01，2log24，3log327，10lg105，5log51125． 師：請(qǐng)同學(xué)說出結(jié)果，并發(fā)現(xiàn)規(guī)律，大膽猜想． 生：2log24=4．這是因?yàn)閘og24=2，而22=4． 生：3log327=27．這是因?yàn)閘og327=3，而33=27． 生：10lg105=105． 生：我猜想alogaN=N，所以5log51125=1125． 師：非常好．這就是我們下面要學(xué)習(xí)的對(duì)數(shù)恒等式． 師：（板書） alogaN=N（a＞0，a≠1，N＞0）．（用紅筆在字母取值范圍下畫上曲線） （再次鼓勵(lì)學(xué)生，并提出更高要求，給出嚴(yán)格證明．） （學(xué)生討論，并口答．） 生：（板書） 證明：設(shè)指數(shù)等式ab=N，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)等式為logaN=b，所以ab=alogaN=N． 師：你是根據(jù)什么證明對(duì)數(shù)恒等式的？ 生：根據(jù)對(duì)數(shù)定義． 師：（分析小結(jié)）證明的關(guān)鍵是設(shè)指數(shù)等式ab=N．因?yàn)橐C明這個(gè)對(duì)數(shù)恒等式，而現(xiàn)在我們有關(guān)對(duì)數(shù)的知識(shí)只有定義，所以顯然要利用定義加以證明．而對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)基礎(chǔ)之上的，所以必須先設(shè)出指數(shù)等式，從而轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)等式，再進(jìn)行證明． 師：掌握了對(duì)數(shù)恒等式的推導(dǎo)之后，我們要特別注意此等式的適用條件． 生：a＞0，a≠1，N＞0． 師：接下來觀察式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶． （給學(xué)生一分鐘時(shí)間．） 師：（板書）2log28=？2log42=？ 生：2log28=8；2log42=2． 師：第2題對(duì)嗎？錯(cuò)在哪兒？ 師：（繼續(xù)追問）在運(yùn)用對(duì)數(shù)恒等式時(shí)應(yīng)注意什么？ （經(jīng)歷上面的錯(cuò)誤，使學(xué)生更牢固地記住對(duì)數(shù)恒等式．） 生：當(dāng)冪的底數(shù)和對(duì)數(shù)的底數(shù)相同時(shí)，才可以用公式 alogaN=N． （師用紅筆在兩處a上重重地描寫．） 師：最后說說對(duì)數(shù)恒等式的作用是什么？ 生：化簡！ 師：請(qǐng)打開書74頁，做練習(xí)4． （生口答．略） 師：對(duì)對(duì)數(shù)的定義我們已經(jīng)有了一定認(rèn)識(shí)，現(xiàn)在，我們根據(jù)定義來進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)的性質(zhì)． 師：負(fù)數(shù)和零有沒有對(duì)數(shù)？并說明理由． 生：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)．因?yàn)槎x中規(guī)定a＞0，所以不論b是什么數(shù)，都有ab＞0，這就是說，不論b是什么數(shù)，N=ab永遠(yuǎn)是正數(shù)．因此，由等式b=logaN可以看到，負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)． 師：非常好．由于對(duì)數(shù)定義是建立在指數(shù)定義的基礎(chǔ)之上，所以我們要充分利用指數(shù)的知識(shí)來研究對(duì)數(shù)． 師：（板書）性質(zhì)1：負(fù)數(shù)和零沒有對(duì)數(shù)． 師：1的對(duì)數(shù)是多少？ 生：因?yàn)閍0=1（a＞0，a≠1），所以根據(jù)對(duì)數(shù)定義可得1的對(duì)數(shù)是零． 師：（板書）1的對(duì)數(shù)是零． 師；底數(shù)的對(duì)數(shù)等于多少？ 生：因?yàn)閍1=a，所以根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可得底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1． 師：（板書）底數(shù)的對(duì)數(shù)等于1． 師：給一分鐘時(shí)間，請(qǐng)牢記這三條性質(zhì)． 師：在初中，我們學(xué)習(xí)了指數(shù)的運(yùn)算法則，請(qǐng)大家回憶一下． 生：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加，即am·an=am+n．同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，即am÷an=am-n．還有（am）n=amn； 師：下面我們利用指數(shù)的運(yùn)算法則，證明對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則．（板書） （1）正因數(shù)積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和．即 loga（MN）=logaM+logaN． （請(qǐng)兩個(gè)同學(xué)讀法則（1），并給時(shí)間讓學(xué)生討論證明．） 師：（分析）我們要證明這個(gè)運(yùn)算法則，用眼睛一瞪無從下手，這時(shí)我們?cè)撓氲�，關(guān)于對(duì)數(shù)我們只學(xué)了定義和性質(zhì)，顯然性質(zhì)不能證明此式，所以只有用定義證明．而對(duì)數(shù)是由指數(shù)加以定義的，顯然要利用指數(shù)的運(yùn)算法則加以證明，因此，我們首先要把對(duì)數(shù)等式轉(zhuǎn)化為指數(shù)等式． 師：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q，由對(duì)數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 M·N=ap·aq=ap+q， 所以 loga（M·N）=p+q=logaM+logaN． 即 loga（MN）=logaM+logaN． 師：這個(gè)法則的適用條件是什么？ 生：每個(gè)對(duì)數(shù)都有意義，即M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（1）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶． 生：等號(hào)左端是乘積的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的和，從左往右看是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算． 師：非常好．例如，（板書）log2（32×64）=？ 生：log2（32×64）=log232+log264=5+6=11． 師：通過此例，同學(xué)應(yīng)體會(huì)到此法則的重要作用——降級(jí)運(yùn)算．它使計(jì)算簡化． 師：（板書）log62+log63=？ 生：log62+log63=log6（2×3）=1． 師：正確．由此例我們又得到什么啟示？ 生：這是法則從右往左的使用．是升級(jí)運(yùn)算． 師：對(duì)．對(duì)于運(yùn)算法則（公式），我們不僅要會(huì)從左往右使用，還要會(huì)從右往左使用．真正領(lǐng)會(huì)法則的作用！ 師：（板書）（2）兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)． 師：仿照研究法則（1）的四個(gè)步驟，自己學(xué)習(xí)． （給學(xué)生三分鐘討論時(shí)間．） 生：（板書）設(shè)logaM=p，logaN=q．根據(jù)對(duì)數(shù)的定義可以寫成M=ap，N=aq．所以 師：非常好．他是利用指數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的定義加以證明的．大家再想一想，在證明法則（2）時(shí)，我們不僅有對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)，還有法則（1）這個(gè)結(jié)論．那么，我們是否還有其它證明方法？ 生：（板書） 師：非常漂亮．他是運(yùn)用轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，借助于剛剛證明的法則（1）去證明法則（2）．他的證法要比書上的更簡單．這說明，轉(zhuǎn)化歸結(jié)的思想，在化難為易、化復(fù)雜為簡單上的重要作用．事實(shí)上，這種思想不但在學(xué)習(xí)新概念、新公式時(shí)常常用到，而且在解題中的應(yīng)用更加廣泛． 師：法則（2）的適用條件是什么？ 生：M＞0，N＞0；a＞0且a≠1． 師：觀察法則（2）的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)并加以記憶． 生：等號(hào)左端是商的對(duì)數(shù)，右端是對(duì)數(shù)的差，從左往右是一個(gè)降級(jí)運(yùn)算，從右往左是一個(gè)升級(jí)運(yùn)算． 師：（板書）lg20-lg2=？ 師：可見法則（2）的作用仍然是加快計(jì)算速度，也簡化了計(jì)算的方法． 師：（板書） 例1 計(jì)算： 生：（板書） 解 （1）log93+log927=log93×27=log981=2； （3）log2（4+4）=log24+log24=4； （由學(xué)生判對(duì)錯(cuò)，并說明理由．） 生：第（2）題錯(cuò)！在同底的情況下才能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則．（板書） 生：第（3）題錯(cuò)！法則（1）的內(nèi)容是： 生：第（4）題錯(cuò)！法則（2）的內(nèi)容是： 師：通過前面同學(xué)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，我們?cè)谶\(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則時(shí)要特別注意什么？ 生：首先，在同【冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)·對(duì)數(shù)及其運(yùn)算法則·教案】相關(guān)文章：
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